Varia: Mathematics




Source: Nachlaß-Herder XXV.45 (Berlin/Staatsbibliothek Preußischer Kulturbesitz).

Source: Nachlaß-Herder XXV.46 (Berlin/Staatsbibliothek Preußischer Kulturbesitz).

Source: Nachlaß-Herder XXVI.5 (Berlin/Staatsbibliothek Preußischer Kulturbesitz)


XXV.45. Four 4° sheets (17.5 x 20.5 cm), seven pages of text total, from a large printer’s sheet, folded twice. Paper is ribbed, with a watermark (Irmscher calls it a crowned eagle). The wide left-hand margin is marked with a crease down the middle of each page and contains occasional marginalia. Sheets are numbered in pencil. The last page (4v) is blank. A1-A3 are based on Kästner, A4-A7 on Wolff (see the textbooks, below). Brown ink throughout. Pages A1-A7.

Previous transcriptions: Irmscher [1964, 17-28] and AA 29: 49-58.


XXV.46. Same size and format as the previous, but there is no margin. Sheets are numbered in pencil. 3v is blank, save for three words in ink at the top: “@Anwend.ung ˚auf ˚die@”. Irmscher (1964, 29) suggests that the text on 3r is a later insertion, and that perhaps another sheet following this one has gone missing. The text on 3r is certainly out of place: 2v discusses arithmetic, 3r geometry (but without any transition or introduction), 3v is blank, then 4r introduces geometry, which 4v continues. It seems more reasonable to believe that the librarian simply misnumbered the sheets, and that we should understand the text on 3r as a continuation of the discussion on 4v (this certainly fits the content, as stereometry is more properly discussed after longimetry and planimetry), which also makes the blank 3v less surprising, since it would then be the last page of the signature. We have arranged the text following this interpretation. Pages B1-B7.

Previous transcriptions: Irmscher [1964, 29-39] and AA 29: 59-66.


XXVI.5. This is a bound, brown 4° notebook (17.5 x 20 cm), 70 sheets, paginated (apparently by Herder) as I-IV (with I as the title-page) and then 1-137 (the inside back cover is p. 137). The text is all in ink (dark brown or black, on one page red), with pencilled markings by a later user. On the title-page (p. I): “Beiträge fürs Gedächtniß. 1761. 1762ff.” Included here are pp. 9-10 (“Theoremata der Longimetrie”) and 21 (“Lehrsätze der Planimetrie”): Pages C1-C3.

Previous transcriptions: none.

Other transcribed text from this notebook can be found at MP (RP/NT 796) (notebook pages 32-33) and Varia (XXVI.5) (notebook pages 2, 25, 34, 123).


See the introductory comments on these notes here.

Because these notes on mathematics are primarily in an outline form, the insertion of a forward-slash (/) to mark paragraph-breaks has little value and so is omitted here.

The longer marginalia written in the wide left-hand margin (of the A-signature) appear to be later additions, and these are bracketed as ‹insertions›. Text that is shown as written in the margin but is not bracketed – normally just a word marking a theme – has the appearance of having been written at the same time as the main body of notes. The B-signature has no margin, but the outline form of the text leaves considerable empty space, and Herder added four insertions on B7.


Textbook: Christian Wolff, Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften, Zu Bequemerem Gebrauche Der Anfänger auf Begehren verfertiget. Frankfurt/Leipzig: Rengerischen Buchhandlung, 1755, 11713. [(16) 740 pp.]

Textbook: Abraham Gotthelf Kästner, Anfangsgründe der Arithmetik Geometrie ebenen und sphärischen Trigonometrie und Perspectiv. Göttingen: Verlag der Witwe Vandenhoek, 1758. [(21) 423 p., with 12 leaves of engravings]


[xxv.45 (1r)] ms A1



Vorerinnerungen

in der Mathematik.[1]

Mathem.atik

Die Mathematik ist eine Wißenschaft, die Größen der Dinge

auszumessen, oder wie viel mal etwas in einem Dinge ge-

Größe:

setzt sey.[2] Eine Größe ist, wenn ‹Eines›[a] vielmal genommen ist, so

daß ich was wegnehmen und zusetzen kann. ‹˚.Exempel Dukaten[b]

ihr Maas

das Maas der Größe (Vielheit) ist die Einheit, oder Eines. ˚.Exempel: jede

Zahl, Maas, Gewicht = Heerde, Meile etc. Linie, Fläche

Meßen

Messen: [c] untersuchen, wie viel mal das Eins in einer Sache ent~

halten sey. (Dies kann ich theils unmittelbar (gemein) theils durch

Schlüße) Mathematik ˚.Exempel die Entfernung des Mondes: ‹allemal aber

durch einen Maasstab.›[d]

Wenn ich deutl.ich ausdrucke, wieviel [e] in einer Sache das Eins ent~

Zahl.

halten, so ist das eine Zahl.

Die Zahlwißenschaft: heißt Arithmetik: und ist nach der Beschreib:ung

˚der Zahl, das Instrument der ganzen Mathematik: folgl.ich

α)

Mathesis vniversalis:[3] Da ˚.man ˚die Größe blos als eine Menge von Theil.en ‹betracht.et

1) ˚das gemeine Rechnen

2) ˚das höhere: a) ˚die Buchstabenrechnung, als allgemeiner Zeichen der Zahlen

    b) ˚die Analysis, das Unbekandte ˚.aus Vergleichung mit dem

     Bekandten zu finden. Daher entstand die Algebra

     von Gleichungen. ˚.Man ˚.hat ˚.sie ˚.auf krumme Linien. ˚.Exempel ˚.auf Kegel-

     schnitte [f] angewandt ˚.und dar˚.auf ˚die Rechnung des Un-

     endlichen gebauet. Die ist a) Differential } Rechnung

               b) Integral }

β)

Mathesis special.is α) pura ˚die ˚die Größen ohne ˚die übrigen Eigenschaften ˚der Sachen

      1 ausmißt: Geometrie pura

      2 auszählt im Triangel: Trigonometrie

     β) impura ʾ:sive applicata: so allgemein ˚.wie ˚die Welt: doch ˚nicht für Menschen

     1) directe

      a) ˚.auf Raum:[4] Geometrie: Äerometrie

      b) ˚.auf Zeit: a) Tage: Gnomonik:

           b) Jahr: Chronol.ogie

      c) Kraft: 1 Physik: Bewegung

       α) uberhaupt: Phoronomie

       β) besond:er: 1 der vesten Körper: Mechan.ik[5]

         1) ˚der Gestirne: Astron.omie

         2) ⁅˚der⁆ Erde: Geogr.aphie

        2 ⁅˚des⁆ Schalles: Akustik Musik

        3 Lichts: Akustik Musik

         a) geradelinicht: Optik

         b) zurückgeprallt: Katoptrik

         c) ˚durchgeschlagen: Dioptr.ik

           daher ˚die perspective

        4) ˚der flüssigen Körper: hydraulik

       γ) Gleichgewicht: 1 ˚der vesten Körper: Statik

        2 ⁅˚der⁆ flüssigen ⁅Körper:⁆ hydrostatik

       2) Log: als ˚.ein Grund: daher ˚die Mathematik ˚der

        Wahrscheinl.ichkeit

     1) indirecte: Buchhalten, Geschützkunst, Baukunst, Schiffkunst

[datum: 11.05.2019]


[xxv.45 (1v)] ms A2



2) Mathesis indirecta: remotior fließt in viele Künste, ˚.Exempel ins Mahl.en

˚durch ˚die Zeichenkunst ˚.und Perspektive: ins Fechten ˚durch Mechanik ˚ein. Ja alle Hand-

werker haben nebst dem physischen, etwaz mathem:atisches aber ˚nicht ˚.aus Gründen

sondern blos zum Gebrauch.[1]

Nuzzen a) ihr wirkl.icher Gebrauch zu Künsten etc.

b) ˚die Bildung des Kopfs zur Überzeugung ‹˚.und Ordnung› ˚durch ihre Gewißh.eit ˚.und Methode: daher

bildeten ˚den Griechen da˚durch ihre Kind:er (μαθεσισ) ˚.und Pythagoras wollte blos γεω-

μετρασ zu Auditoren.[2]

Lehrart: da ˚die Begriffe überhaupt: ˚.Exempel waz ist Tugend[3]

Merkmale haben die sind { ununterscheidend[:] dunkle Begr.iffe

         { unterscheidend: klar {

            { ˚.mit klaren Merkmalen d.i. deutl.ich { ˚.mit deutl.ichen Merkmal.en d.i. vollständig

            { ˚.mit dunkeln, d.i. undeutl.ich { ˚.mit undeutl.ichen Merkmalen d.i. unvollständig

a) Erklärung[4] 1 vollständige: ‹fest› bestimte Begriffe: d.i. Erklärungen zum Grunde.

  α in Worten: Worterklär:ungen ‹˚.aus dies.en[a] bestimmte ˚.man alle folgenden Worte

  β in Sachen: Sacherkl:ärungen: real–genet:isch

b) Säze 2 Urteile ˚.aus ˚den Erklär.ungen

[b]       { unerweislich, Grundsaz axiom: ˚sind notiones communes

    { theoretisch

       { erweislich {˚durch 1 Schluß: Zusaz coroll.arium

             { ˚durch mehr Schlüße: Lehrsaz theorem.

Saz ist {

       { unerweislich: Heischesaz postul:at

    { praktisch

       { erweislich: Aufgabe: problem

[c]

c) Schlüsse: 3 Beweise: ˚durch kettenmässige Schlüße, an dem doch oft ˚die major.es ˚.ausgelassen ˚werden.

[d]

Entweder 1 synthetisch: ˚.von Grundwahrh:eiten zu ˚den höchsten gewißesten Säzen: ist ˚die sicherste,

      da ˚.sie ˚.auch in andern Wissenschaften gilt, ˚die fruchtbarste ˚.und schwerste

  2 analytisch: ˚.aus Def.inition zu ˚.einfachen Sätzen: ist leichter, doch blos für Mathematiker

  3 vermischte: zum Vortrage ˚der Mathem.atik am bequemsten

˚Die Mathem.atischen Hypothesen sind ˚die wahrscheinl.ichsten ˚.und ˚durch so ˚viele Bestätigungen fast ge-

       gewiß

   Lehrsäze sind nöthig, [e] fruchtbar, ˚.und gewiß

   Anmerkungen: erläuternd, angenehm, anwendend.

[The remainder of the page – about 1/5 – is blank.]

[datum: 10.05.2019]


[xxv.45 (2r)] ms A3



Rechen Kunst:[1]

Historie: Sie ist von der Bedurftheit der Menschen erfunden.

‹Schon vor 2000 Jahren[2] ˚hat Euklid ˚die Eigensch.aften ˚der Zahler in 7-9 Elemente

sehr demonstr.ativ ˚.aus˚.einander gesetzt; ˚die ˚man in neuern Ausgaben

als schwer ausgel.assen. Taquet ˚.hat ˚.sie @gesetzt@.›

Nikomachos[a] schrieb 300 J.ahre vor ˜Christi Geb.urt 2 bücher ˚von ˚der Ar.ithmetik aber ˚nichts

als ˚Eintheil.ung ˚der Zahler. Psellus, Sec.ulum 10. ˚.ein Gr.ieche dessen Ar.ithmetik Xyl.ander 1556

lat.einisch übersetzt ˚.hat›

Die handelnden Völker, die mit der alten Zählart bis 10

nicht zufrieden seyn konnten, e.inige ˚die Phönicier [b] trieben

sie mehr. Pythagoras, macht ˚.aus ihr ein Heiligthum, der Geheim~

niße, ˚.und ˚.aus ihr ˚.und ˚der Geometrie die nöthigste Wißenschaft.

Darnach war nach dem Archimedes Diophantus,[3] ˚der subtil-

ste Arithmetiker, ˚der vieles, waz uns unbekant ist, wußte.

1)[4] ˚Die Rechen Kunst, ist ˚die Wissenschaft mit Zahl.en umzugehen.

3) ˚.Ein Ganzes, ˚.aus ˚.vielen Dingen ˚.von ˚einerlei Art, deutl.ich ausgedruckt ist Zahl

4) [c] ˚Die Einh.eit, ˚die in ˚der Mathematik als Maas gebraucht ˚wird, ist hier

   ˚.ein bekandter Begrif.

5) ˚Die Rechen Kunst verändert Zahl:en – also entweder in maius oder minus

6: ˚.Sie vermehrt: entweder ˚durch Zahl.en, ihr ˚nicht gleich ⁅entweder in⁆ Add.ition

oder ⁅˚durch Zahl.en, ihr⁆ gleich. Wenn ˚.sie etl.iche mal genomen

wird. Mult.iplikation

‹∞ unendl.ich groß: 0 unendl.ich kl.ein ≌ Congruenz:›

‹⩗ Wurzel 6.6 = 36 = ⩗36 oder 6 = ⩗36 : als ˚die Quadratwurzel

(sonst 3⩗27 4⩗64, n⩗100.›

———————

‹Subtrahieren












Beweis:[9]

Fig. 1

7. ˚.Sie vermindert: ˚.auf beide Arten: (subtractio, divisio)

8. Also 4 Species:[5] Numeriren ist ˚keine species.

9. Addiren:[6] findet ˚eine Zahl ‹(Summe)›, ˚die verschiednen Zahl.en (˚.von ˚einer Art, aber ˚nicht ˚einer Grösse)

˚zusammen genommen gleich ist: Zeichen a + b   8 + 5.

(Summirende) Zahlen ˚sind = ˚der Summe

12. Subtrahiren[7] ziehet ˚.von ˚einer gegebenen Zahl ˚eine [d] ˚.von ˚der selben

Art, ˚nicht aber Grösse weg, ˚.und findet eine (Differenz Rest), ˚die ˚.mit ˚der

weggenommen zusammen genommen ˚der gegebenen gleich ist.

‹Zeichen A - B = C.   8 - 5 = 3›

15. Multipliciren[8] findet, in dem ˚.sie [e] ˚eine Zahl ‹(multiplicandum)› zu wiederholten mahlen

‹(multiplicator)› zu sich addirt, eine Zahl (factum, pro duct, in ˚der die erste gegebne

Zahl (alter factor, multiplicandus ) so viel mal steckt, als

˚das 1. in dem andern factor, dem multiplicator oder ʾ.vice versa

vt 1 : 1 Fact:or: 2 Fact:or factor.

[Fig. 1] addire AB so viel mal als AC in ˚sich hält, zu

sich selbst: so entsteht ˚das product AB . CD.

Die Zahl AB ist in ABCD so vielmal enthalten, als 1 in

A. C. Denn für jede Einheit in A. C. ˚wird AB. ˚.einmal hinge~

setzt. So viel Einheiten AC. ˚.hat, so ˚viele Zeilen AB kommen unter˚.einander

n ˚.und ⁅So viel Einheiten⁆ AB ⁅˚.hat, so ˚viele Zeilen⁆ A.C. ⁅kommen unter˚.einander

————————————————————

also ist A C. so ˚vielmal in ABCD : als 1 in AB.

Je˚der factor: so ad product ˚.wie ˚der andere factor zu 1.

AB kann also ˚.mit AC. ˚.und AC ˚.mit AB. multipl.icirt ˚werden.

˚Das Zeichen 3 . 4. xy oder 3 × 4.

[datum: 10.05.2019]


[xxv.45 (2v)] ms A4



[The following four lines are in the top-left corner of a left margin that is half the page wide; this is the only marginalium.]

‹Divis.or im Divid.enden   Einh.eit z.um Quot.ienten

‹oder› Divid.end ⁅im⁆ Divis.or   Quot.ient z.ur Einh.eit

Divis.or × Quot.ient = Dividend

Produkt × 1 Factor = 2 Factor

17) Dividiren,[1] ˚wenn ˚.man eine ‹gegebne› Zahl (Divisor) ˚.von ˚einer andern (Dividendum)

so lange abzieht bis ˚nichts bleibt, alsdenn ˚wird ˚eine Zahl ‹quotient› gefun~

den, ˚die in ˚der ˚einen (gegebnen (dem Dividendus) so ˚vielmal als

1 im Divis.or steckt.[2][Fig. 1]

Fig. 1

  . . . . .    d . . . . .   so ˚viel 1 in Q so viel d : in D.

D . . . . .    Q . . . .   d × Q = D. ||

  . . . . .

  . . . . .

läßt sich D aber ˚nicht in Zeilen jede so groß als d abtheiler [Fig. 2]

Fig. 2

D . . . . .

  . . . . .    d . . . . .  

  . .     q also zwischen 2 ˚.und 3. d.i. ˚.ein Bruch.

Zeichen A/B oder A:B   24/6   24:6 = 4.

20.)[3] Eine jede Größe ist = ˚sich selbst. 3 × 2 = 3 + 3 = 8 - 2 = 18/3

22.[4] 2 Grössen, ˚einer 3ten gleich: = ˚sich selbst:

Hypothese A = C   6 + 2 = 8

      B = C   5 + 3 = 8

      A = C   6 + 2 = 5 + 3

24)[5] ‹a)› gleiches zu gleichem + : ‹gibt› gleiche Summen

b ⁅gleiches zu⁆ grösserem + ⁅gibt⁆ größ.ere ⁅Summen⁆

c) ⁅gleiches zu kleinerem⁆ + ⁅gibt⁆ klein:ere ⁅Summen⁆

a) A = C    5 + 1 = 6   Beweis   A + B = A + B   §.20.

B = D    7 + 1 = 8         A = CHypothese

  A + B = C + D    12 + 2 = 14   A + B = C + B   §.15

                  B = DHyp.othese

                A + B = C + D

  C + D   B = D   

b) A ﹥ B    8 ﹥ 6   Beweis   A ﹥ Bhypot.hese

C = D    4 = 4      A = B + p.   §.25.

A + C ﹥ B + D 12 ﹥ 10      C = DHypothese

              A + C = B + p + D   §.60.[6]

              B + p + D ﹥ B + D   §. 21

              A + C = B + D

25.[7] ‹a› gleiches –– ˚.von gleichem gibt gleichen Rest

b) ‹gleiches›[a] –– ⁅˚.von⁆ größerem ⁅gibt⁆ gröss.eren ⁅Rest⁆

[c)] ‹gleiches›[b] – ⁅von⁆ kleinerem ⁅gibt⁆ kleineren ⁅Rest⁆

a) Lehrsatz           Beweis

 A = C     8 + 1 = 9    A - B = A - B   §. 20.

B = D     3 + 1 = 4     A = C    hyp.othese

A - B = C - D   5 + 0 = 5    A - B = C - B    15.

              B = D  hyp.othese

             A - B = C - D

b) Lehrsatz A.     Beweis

 A ﹥ B      8 ﹥ 5     A ﹥ Bhyp.othese

C = D      3 = 3    A = B + p    25.§.

A - C ﹥ B - D    11 ﹥ 8    C = D

           A - C = (B + p) - D   antec.edens

           (B + p) - D ﹥ B - D

           A - C ﹥ B - D

[datum: 10.05.2019]


[xxv.45 (3r)] ms A5



§ 26.[1][a)] gleiches × ˚.mit gleichem gibt gleiche Prod.ukte

b ⁅gleiches × ˚.mit⁆ grösserem ⁅gibt⁆ größ.ere ⁅Prod.ukte

[c)] ⁅gleiches × ˚.mit⁆ kleinerem ⁅gibt⁆ klein.ere ⁅Prod.ukte

  A ﹥ B     8 ﹥ 5   Beweis   A ﹥ B   hy.pothese

C = D     4 = 4       A = B + p

A+C ﹥ B+D    32 ﹥ 20     C = D

            A + C = (B + p) + D

            (B + p) D ﹥ B D

            AC ﹥ BD

27.[2] [a] gleiches ˚.mit gleichem : gibt gleiche Quot.ienten

b größeres ⁅˚.mit gleichem : gibt⁆ größereQuot.ienten

[c] kleineres ⁅˚.mit gleichem : gibt⁆ kleinereQuot.ienten

  A = B    24 = 12 + 12   | A : C = A : C.   20

C = D     6 = 6      | A = BHyp.othese

A : C = B : D   4 = 2 + 2   A : C = B : C.    15.

              C = DHyp.othese

             A : C = B : D.

b   A ﹥ B    24 ﹥ 12.    A ﹥ B.

   C = D     3 = 3    A = B + p.

  A : C ﹥ B : D    8 ﹥ 4    C = D

             A : C = (B + p) : D.

             (B + p) : D ﹥ B : D.

             A : C ﹥ B : D.

29.[3] Was größer ist als ˚eine ˚von 2 gleichen Grössen, ist grösser als ˚die andere.

Lehrsaz        Beweis

B ﹥ C    8 ﹥ 5     B ﹥ C

A = C    3 + 2 = 5    B = C + p.

B ﹥ A   8 ﹥ 3 + 2.    A = C.

           B = A + p.

           A + p = A

           B ﹥ A.

31.[4][a] So mannichfaltige Zahlbegriffe, @durch@[b] Zeichen auszudrücken

[c] verdient ˚Aufmerksamkeit. Es gibt

Nationen, ˚die ˚nicht über 3 zählen ˚sondern so gleich ˚das + brauchen: 3 + 2. So ˚viele

Begriffe ˚durch so wenig Zeichen so deutl.ich auszudrücken, dazu ward

˚der größte Erfinder erfodert, so wie zur Kunst zu schreiben.

Denn die alten [d] mahlten zu erst Sachen hin (Hieroglyphen,

Chinesische Schreibart), da aber ˚die Figuren schwer, ˚die Anzahl ˚der Sachen

weitläuftig, ˚.und die abstrakten Wahrheiten unauszudrücken waren,

so bemerkte ˚ein glücklicher Kopf, daß ˚.man ˚nicht Sachen sondern Worte

brauchen könnte, daß diese ˚.aus Schällen beständen, er reducirte

˚.sie ˚.mit ˚der größter Mühe ˚.auf 24. Er suchte ˚.sie ˚durch Charaktere ˚.auszudrück.en,

wo bei er anderer ˚.mitgedächtniß brauchte.

Vermutlich kam ˚.man nach ˚der Anzahl ˚der Finger auf die Zahl zehn.[5]

Man gab also ˚den 1sten 10 besondere Namen. Jede größere

[datum: 10.05.2019]


[xxv.45 (3v)] ms A6



33.[1] ist entweder ˚die Summe ˚der kleinern ˚.und ˚der 10, oder ˚die Summe

eines vielfachen ˚.und ˚einer kleinern. Diese Mannichfaltigk.eit zeigte

˚.man ˚durch ˚die Namens an (19. 90. 99.).

34.[2] ˚Die Unbequemlichk.eit ˚.und Verwirrung zu vermeiden nante ˚.man 10 mal

10 hundert etc.

Vorz.ug ˚der Dyadik: ‹1› zu mult.ipliziren ˚.und div.idiren ohne Einm.aleins.

Nachth.eil ⁅˚der Dyadik⁆: [a] ˚eine ˚große Zahl zu schreiben: z.E. Mill.ion, 400 mal 1 ˚.und 0.

    2) Chines.ische Char.aktere wollte er erläutern

    3) ˚die Schöpf.ung ˚.aus Nichts erklären›

32.[3] Es wäre ˚nicht nothwendig bis 10 zu zähl.en, ˚sondern ˚.auf so ˚viele Art

als Zahlen sind. Leibniz: Dyadik mit 1 0. Da 1 in der 1sten Stelle,

in der 2ten 2; in ˚der 3ten 2 mal 2: in ˚der 4ten: 4 mal 4: in der 5ten 2 mal 8 etc.

gilt, ist leichter aber ˚.auch länger, [b]indessen ist ˚.sie ˚.auch ˚der Schlüßel zu des

Fusci[c] Buch gewesen.[4] Weigels Tetraktik,[5] ˚der ˚.auch Wörter dazu erfunden,

Fig. 2

Fig. 1

ist (nach Aristoteles Bericht)[6] ˚.von ˚einem Thrazischen Volk gebraucht.

Die Griechen, Hebräer ˚.und andre Orient:alen zählten mit Buchstaben des Alphabets

allein sehr unbequem. Die Röm.er ˚.mit einigen Buchstaben desselben,

z.E. mit I(I)V weil IIII gar zu viele Striche waren, [Fig. 1] 2 m.al 5

wurde X 10. C. aus Centum 100. wurde fast [Fig. 2] geschrieben, dessen

Fig. 3

Helfte L 50 wurde. M. aus mille 1000, oder aus [Fig. 3] M.

Hiemit konnten ˚.sie ˚zwar Zahlen schreiben, aber schlecht rechnen. Unsere,

˚die Indianische Zahlschreibung, ist ˚.von ˚den Saracenen nach Spanien,[d]

vom Benediktiner Gerberto von Fleury[7] nach Frankr.eich (der

darnach Pabst Sylvest:er II. 1003†) [gebracht worden], von da ˚durch Europa. ˚Die Cha-

raktere sollen entweder ˚die Menge ihrer Einheiten in sich halter

oder sind Anfangsbuchstaben ˚der Indischen numeralium. ˚.Sie haben

˚das unbequeme daß[e] sie von ˚der rechten zur link.en Oriental.isch ge-

schrieben ˚.und also ˚durch eigne Hand verdeckt, ˚.und ˚.von ˚der link.en ˚ausgesprochen

˚werden.

‹9. Zeichen lassen ˚sich nur 9 mal 9 = 81 mal setzen: nun noch 9 mal

mit 0 = 90 nun noch 9 einzelne Einheiten = 99. Bei Hun˚dert 3fache

Combinat.ion. –– Eben so bei 1000 vierfach: 10/m 5fache.›

‹Deutsche Spr.ache unschickl.ich, daß ˚.sie spricht: 3 ˚.und zw.anzig; [f] andre ˚.und einige

Gelehrte 20,3 statt 23.›

36.[8] 90. einzelne Einheiten machen eine zusammengesezte, die 10. 10 Zehnen

wieder 1, ˚die 100 etc. ˚.aus also ist 10 ˚die niedrigste 100 höhere etc. Ordnung:

˚Die [g] 9 zahl.en können also nach ˚der Ordnung unterschiedne

Bedeutung haben. Diesen unterschied soll die Stelle ˚der Zifer geben.

˚Die 1te Stelle soll also ˚Einheiten, ˚die 2te Zehner etc. seyn. ˚Die ledigen

Stellen soll eine 0 ˚ausfüllen, ˚wenn ˚keine ˚.von ˚der Ordnung, wohl aber höhere

da sind.

37.[9] Nebst dem mechanischen Numeriren ist zu merken, daß ˚.man

˚die Ordnung ˚der Zifern ˚durch kleine herübergeschriebne Ziffern inson˚derh.eit

bei grossen Reihen von Zahlen angibt. 2542 heißt 25 Septill.ionen @oder@

es sollten 42 Nullen zur rechten Hand stehen.

Wenn ˚.man [h] vorgesagte Zahlen schreiben will, so fange ˚.man [an],

wenn die Zahl zu Ende gesagt ist, für jede Ziffer je˚der Ordnung

Stell.en abzuzeichnen, ˚.und ˚.von ˚der linken zur rechte ˚.auszusprechen

[datum: 11.05.2019]


[xxv.45 (4r)] ms A7



38.[1]

Lehrs:atz Beweis

Addition 8 + 4 = 12

8 = 8   §20.

 4 = 3 + 1    def.inition

8 + 4 = 8 + 3 + 1.  §24.

 8 + 1 = 9 

8 + 4 = 9 + 3.

 3 = 2 + 1 

8 + 4 = 9 + 2 + 1

 9 + 1. = 10. 

8 + 4 = 10 + 2

 10 + 2 = 12. 

8 + 4 = 12.

‹˚.man muß ˚die 9er ˚mitrechnen, ˚die bei dem Summiren weggeworf.en

bleibt gleiches übrig so ist allemal recht

(Schreibe 11 t.ausend 11 h.undert ˚.und 11.›

40.[2] Die Probe ˚durch 9 [a] trift bei allen rechten Ex. ˚.ein doch ˚.auch oft bei falschen

Man ziehe also lieber jede Reihe ˚der summirenden v.on ˚der Summe ab

so bleibt ˚nichts, weil alle Theile dem ganzen gleich sind.

‹Subtract.iren da ˚.man unten borgt, ist widersinnig; denn ˚die Zahl wird ˚nicht

vermehrt, aber @richtig@›

43.[3] ˚Die Substrakt.ion ˚die entgegen gesezte Addition ist in ihrem beweis

Probe, ˚.und Operat.ion ˚das Gegentheil ˚der addition

12 - 4 = 8. denn 12 = 8 + 4

      4 = 4 

     12 - 4 = 8 + 4 - 4

      4 - 4 = 0 

     12 - 4 = 8 + 0

      8 + 0 = 8 

     12 - 4 = 8

‹˚.hat ˚.ein fakt.or am Ende Null: nur ˚.mit ˚den Zahlzeichen multipliciren

49.[4] Multipliciren

3 × 8 = 24. | 3 × 8 = 2 × 8 + 8 | 2 × 2 = 1 × 2 + 2

      2 × 8 = 8 + 8  |  1 × 2 = 1 + 1 

     3 × 8 = 8 + 8 + 8 | 2 × 2 = 1 + 1 + 2

      8 + 8 = 16.  |  1 + 1 = 2 

     3 × 8 = 16 + 8. | 2 × 2 = 2 + 2

      16 + 8 = 24.  |  2 + 2 = 4 

     3 × 8 = 24. | 2 × 2 = 4.

50.[5]

Wenn eine Zifer ˚der höhern Ordnung ˚.mit dem Einer × ˚wird: so ist

˚das prod.uct ˚.von ˚der Ordn.ung des höhe faktors. Ist der andre faktor ˚.auch

˚eine höhere Zifer, so ist ˚das prod.uct so ˚viel höher, als es wäre, ˚wenn diese faktor

˚eine Einh.eit ware. ˚.Exempel 9000 × 700 = 100 mal 9000 . 7.

51.[6]

Dividiren neml.ich ˚wenn ˚der Divisor €weniger als Divid:end

Fig. 1

B | 97645 [Fig. 1]

5 |  5 

  47,645

 45 

   26,45

    25 

    145

     10 

     45

[datum: 11.05.2019]


[XXV.46 (1r)] ms B1



           Vorläufige    Erinnerungen

1) Erklärung: Mathematik (mathesis a (μαθεω disco) ˚eine Wissenschaft der Ausmeßung der Größen.

   Die Ausmeßung ist theils unmittelbar, durch einen Maßstab,

         ⁅ist theils⁆ mittelbar, ⁅durch⁆ Schlüße.[1]

2) Einteilung 1) vniversalis[2] (die allgemeine) die die Größe an sich ausmisst; [a] sie drückt die Größe aus

     α) durch Zahlen: Arithmetik

     β) ⁅durch⁆ andre Zeichen: Algebra

    2) specialis: die die Größe in besondern Dingen betrachtet. Diese Dinge sind

     α) Raum;[3] daher Geometrie ˚.und Trigonometrie

     β) Zeit: daher Chronologie, die die ‹Jahre›[b] } ausmißt.

        Gnomonik, die die Tage } ausmißt

     γ) Kraft: α. Bewegkraft, Dynamik[c]

         1) ‹in› vesten Körpern überhaupt: z.E. Mechanik[4]

          a) unserer Erde: Geographie

          b) der Himmelskörper: Astronomie

          c) des Lichts:

           1) [d] geradlinicht: Optik

           2) durchgeschlagen: Dioptrik

           3) zurückgeprallt: Catoptrik

          d) der Luft: Aerometrie

         2) in flüßigen Körpern Hydrodynamik,[e] oder Hydraulik

        β) stillstehende Kraft:

         1) in vesten Körpern: Statik

         2) in flüßigen ⁅Körpern:⁆ Hydrostatik.

3) Nutzen[5] 1) in wirklichen Künsten: z.E. α) [f]Perspektiv zum Mahlen: β) Artillerie zum Kriege: γ) Baukunst

         im gemeinen Leben: [g] im Kriege ˚.und zur See

     2) ‹in›[h] Bildung des Verstandes: 1) zur Gewißheit: durch ihre Beweise

                 2) ⁅zur⁆ Ordnung: ⁅durch ihre⁆ Methode.

Daher hieß sie bei den Griechen μαθημα (disciplina strictissime dicta), weil ‹man› sie bei ihnen trieb

   α) am frühsten: statt der Mythologie:

   β) am sorgfältigsten: Pythagoras[6] z.E.

   γ) als einen Probierstein der Fähigkeiten

[datum: 22.05.2019]


[XXV.46 (1v)] ms B2



Arithmetik ist entweder 1) vulgaris, die statt Beweise Proben } gibt

1) Einteilung      2) mathematica⁅, die statt⁆ Proben Beweise } gibt

2 Ursprung[1] 1) der gemeinen a) der Zahlbegriffe: ist sehr alt; bey denen handelnden Völkern gegesteigert

            b) der Zeichen der Zahlbegriffe 1) durch Sachen, z.E. durch Kerbstock, Franzen etc.

                    2) durch Bilder: so wohl ganze als hieroglyphische

                    3) ⁅durch⁆ Buchstaben: bei allen Oriental.ischen Nationen,

                      ‹˚.auch bei Römern, Griechen[a]

                    4) ⁅durch⁆ Ziffern: von den Arabern erfunden, durch

                     Gerbert von Fleury[2] in Europa bekandt

                     gemacht.

  2) der Mathematischen bei den Griechen, z.E. Pythagoras und Römern z.E. Diophantus.[3]

3) Plan: sie geht um

  A) mit ganzen Zahlen. Dahin gehört

    1) das Numeriren: geht 1) in der Ordnung der Zahlen bis 10 willkührl.ich

             2) ⁅in der⁆ Stellung ⁅der Zahlen⁆ von der rechten Hand: orientalisch

             3) ⁅in dem⁆ Werth ⁅der Zahlen⁆ nach den Stellen, die 10fach wachsen

    2) die Species, als Arten, die Zahlen[4]

       1) zu vermehren:

        a) Addiren thut eine Größe einmal hinzu: Zeichen +: die Summiren-

          den Zahlen müssen = seyn der Summe.

        b) Multiplic.iren thut [b] eine Größe etlichemal dazu: Zeichen × : Regel: wie

          sich die Einheit verhält zu einem Faktor (dem Multipli-

          candus:) so der (Multiplicator) andre Faktor zum Produkt.

       2) zu vermindern:

        α) Subtrahiren: nimt eine Größe einmal weg: Zeichen

          Regel: der Subtrahens + der Differenz = dem Subtra‹hendus

        β) Dividiren: nimt eine Größe etlichemal weg: Zeichen (: a/b)

          Regel: wie die 1. zum Quotient so der Diuisor zum

            Dividendus.

  B) mit Brüchen:[4] diese sind Theile vom Ganzen, haben @das@ Zeichen a/b und die Regel: wie die gebrochne Zahl zur

    Einheit: so der Zähler zum Nenner, @und ist@ also eine Art von Division: Sie sind entweder

   1) gemeine: vulgares: die Regeln[c] sind:

    1) Dividirt Nenner ˚.und Zähler durch eine ganze Zahl: = derselbe Bruch. Dieß ist Abbreviren

    2) Nenner ˚.und Zähler × durch ein[d] Ganzes gibt dasselbe Produkt. Dies ist der Grund von[e] der

     Reduktion unter = Benennungen: ˚.und nachher beim Addiren ˚.und Subtrahiren

[datum: 24.05.2019]


[XXV.46 (2r)] ms B3



    3) × den Zähler mit einer Zahl: so ist ﹥ ˚.und das[a] ist Multiplicir.en mit einer @Zahl@[b]

    4) × ⁅den⁆ Nenner ⁅mit einer Zahl: so ist⁆ ﹤ ⁅˚.und das ist⁆ Dividir.en ⁅mit einer Zahl⁆

    5) : ⁅den⁆ Zähler ⁅mit einer Zahl: so ist⁆ ﹤ ⁅˚.und das ist Dividiren mit einer Zahl⁆

    6) : ⁅den⁆ Nenner ⁅mit einer Zahl: so ist⁆ ﹥ ⁅˚.und das ist⁆ Multiplic.iren ⁅mit einer Zahl⁆

     Hierauf gründet sich das Multipl.iciren ˚.und Dividiren in Brüchen.

  Die gemeinen Brüche sind 1) eigentliche propriae, die auch zuweilen mixtae vermischte sind

             2) uneigentl.iche, die zu mixtis reducirt ˚werden.

   2) zehntheilige Brüche (decimales), deren Nenner Potenzen von 10 sind z.E. 7/10 etc. etc. 4/100 der Werth für

    1) Zeichen: z.E. 43° 6I 7II 8III 9IV 0V 7VI oder 43678907VI Ganze° (Ruthen) FußI (10.theil) ZollII (100.theil)

       LinienIII (1000.theil) 1ste SkrupelIV etc.

    2) Regel: Im Bruch werden sie Zähler, ˚.und eine Einheit mit so viel Nullen, als ihr höchstes Zeichen ist, Nenner

    3) Rechnungsarten: Grund: Ihr Werth fängt von der linken [an], ˚.und sinkt 10fach. Daher kan man Nullen dazu

         sezzen.

     a) Addiren } man richte gleiches zu gleichem ein, und rechne wie gewöhnlich

     b) Subtrah:iren }

     c) Multipl.iciren: wie gewöhnlich: man addire drauf die Zeichen [c] der Faktoren vor das Produkt.

     d) Dividir.en: ⁅wie gewöhnlich:⁆ man subtrah:ire ⁅drauf die Zeichen⁆ des Divisors ˚.vom Dividend.en ⁅vor⁆ den Quot:ienten

C) [d] mit Quadrat- ˚.und Cubickzahlen[1]

  b) [e] Benennung

   Quadrat || vom [f]Geometr.ischen } wegen der Ähnlichkeit mit denen aus der Geometrie: daher

Fig. 2

Fig. 1

   Wurfel:               } sind Zeichen [Fig. 1] r ˚.und [Fig. 2]. Cr. ˚.und C.

  a) Erklärung etc.: Quadrat ist ˚das Produkt einer Zahl in[g] sich selbst

          a Wurzel eine Zahl mit ihr selbst multiplicirt

     ˚die Würfelzahl ⁅eine Zahl mit ihr selbst⁆ in ihrem Quadr.atmultiplicirt

          b Wurzel ⁅eine Zahl mit ihrem⁆ Quadr.at multiplicirt

  c) Regeln: 1) ˚.zur Quadrat. Wurzel: dupl.icire, sez herunter, ˚.und:

     2) ⁅zur⁆ Cubick ⁅Wurzel⁆: 4drir, 3pl.ire ⁅herunter⁆:

[The remainder of the page – space for about eight more lines – is blank.]

[datum: 29.05.2019]


[XXV.46 (2v)] ms B4



[a] Verhältnisse. [b]

  1) Erklärung: ˚der Unterschied 2.er Größen ˚durch ˚eine 3te:

  2) Zeichen: ˚die beiden Glieder ˚der Vergleichung heissen: membra: eins antecedens ‹willkührlich›, ˚das andre Conseq.uens, ˚die ˚durch : verbunden ˚werden.

      ˚die Grösse des Unterschiedes, ˚der Exponent.

  3) Einteil.ung: 1) arithmetische, wenn ˚der Exponent ˚durch Subtrakt.ion gefunden wird

         Regel: consequens, hat[c] so viel Einheiten, mehr, als antec:edens, als im Expon:enten sind, ˚.und ʾ vice versa

      2) geometr.ische, ˚wenn ˚der Expon:ent ˚durch Divis.ion gefunden wird

         Regel: antecedens steckt so viel mal ganz im conseq.uens ⁅als im Exponenten sind,⁆ ˚.und ʾ vice versa

B) zusammenges.ezte Verhältn.isse

  1) Proport.ion[1]

   a) Erkl.ärung: [d] 2 ˚.mit dem Zeichen ˚der Gleichheit zus.ammengesezte Verhältniße: [e] a:b = c:d, folgl.ich ˚.auch: wie b:a = d:c imgleichen c:d = a:b.

   b) Einteil.ung 1) in Absicht auf ˚die Schreibart: ist [f] willkührl.ich

       a) continua: ˚die 3 Glieder ˚.hat

       b) discreta: ˚die 4 ⁅Glieder ˚.hat⁆

     2) in Abs.icht ˚.auf den Exponent.en ist wesentl.ich

       a) arithmetisch: ist keine wahre Verhältniß

         Regeln: ˚.wie˚viel Einh.eiten a grösser ist, als b :: so viel c : grösser als d

       b) geometr.isch: ist ˚das[g] einzige wahre Verhältn.

         ⁅Regeln:⁆ ˚.wie˚viel mal a ⁅grösser ist als b :: so viel c : grösser als d⁆.

  2) Progression, sind einige (wenigstens 3) in proport.ione continua zus.ammenges.ezte Verhältnisse: ˚.und ˚wird eben so in Arithm.etische ˚.und geometr.ische ˚.eingetheilt

ב) Schlüße:

  1) ˚Wenn 2 Grössen, (Zahlen, Verhältn.iße[h]) einer 3ten gleich sind: sind s.ie ˚.einander selbst gleich.

   Folgl.ich sind ˚die Produkte ˚der beiden ‹äußersten[i] Glieder = ˚den Prod.ukten ˚der beiden mittelst.en

     1) in proport.ione discreta

     2) ⁅in proport.ione⁆ continua ⁅sind ˚die Produkte ˚der beiden äußersten Glieder =⁆ dem Quadr.at ˚der mittelsten.

  2) ˚Wenn 2. Grössen ‹Verhaltnisse› ([j] Verhältniße ˚.und Prop.ortionen) ‹gl.eich› vermehrt ˚oder vermindert ˚werden, so verhalten ˚sich ˚die Produkte, ˚.wie ˚.die Zahl.en selbst.

   Folgl.ich bei dem Verhältniß a:b = c:d   ˚.wie a:c = b:d.

       ⁅bei dem Verhältniß a:b = c:d⁆   ˚.wie a-b:b = (c-d):d

       ⁅bei dem Verhältniß a:b = c:d⁆   ˚.wie a+b:b = c+d:d.

ד) Anwendung auf die

  1) Multiplik.ation   ˚.wie   1:E = 2f:F.

  2) Divis.ion   ˚.wie   1:g = d:D.

  3) Brüche   ˚.wie   E: 1/f = n:d.

  4) Quadrat:e etc.   ˚.wie   R:Q = Q:C.

  5) Regel detrie[2]   ˚.wie   ˚die 1ste gegebne ˚.zum 2. = 3: zur unbekanten.

[datum: 30.05.2019]


[XXV.46 (4r)] ms B5



Vorläufige Anmerkungen der Geometr.ie

1) Erklärung. [a] Geometr.ie (α γ μ ˚.und μετρεω) die [b]meßkunst, ist eine Wißenschaft den Raum auszu~

     messen:[1]

2) ‹Historie da sie›[c] als Kunst erstlich

       zweitens als Wißensch.aft betrachtet werden kann:

         1) Ursprung: bei den Egyptern,

         2) Wachstum⁅: bei den⁆ 1) Griechen, die sie zur Quelle ˚der Weisheit machten

            2) Römern, die sie insonderheit als Kunst im Kriege

              fortbrachten

            3) den neuern, z.E. Franz.osen, Engell.ändern ˚.und Deutschen

3) Nutzen: 1) überhaupt als Wißenschaft: ˚durch ˚ein Gewißheit ˚.und Ordnung ‹ist s:ie› eine Logik

     2) besonders: a) in ˚der Mathem:atik ist sie ˚der Geist ˚der Arithmet.ik ˚der Grund ˚der ganzen Mathes.is applicata

          b) außerhalb ⁅der Mathematik⁆ ist s.ie ˚.ein Hülfsmittel zu andern Künsten, z.E. Musik, Zeichen Kunst

4) Plan: s.ie misst den Raum aus: dieser ist

  1) Längen R.aum hat zu[d] s.einem Ende einen unteilbaren Punkt ˚.und nur eine Abmessung ˚der Länge

  2) Flächen R.aum ⁅hat zu s.einem Ende eine⁆ Linie ⁅und⁆ 2 ⁅Abmessungen⁆ ˚der Länge ˚und Breite

  3) Körperlicher R.aum ⁅hat zu s.einem Ende eine⁆ Fläche ⁅und⁆ 3 ⁅Abmessungen ˚der Länge ˚und Breite⁆ Dicke

Sie ist also

1) Longimetrie, ˚die da Linien ˚ausmisst: diese sind

  1) gerade: die [e] uns als ˚.ein Grundmaas gegeben seyn müssen: ist entweder

   1) Perpendikular ˚.und Vertikal _|_ |

   2) Horizontal __

   3) Schief, die weder Horiz.ontal noch Vertik.al

  2) krumme: deren kein Theil gerade ist

  3) vermischte:

2) Planimetrie, die Flächen ausmißt ˚.und ˚zwar

Fig. 1

 1) unbestimmte,[f] z.E. Winkel: ‹die Neigung 2. Lin.ien ‹(crurum)› zu ˚einem Punkt (vertex). [Fig. 1]› diese werden eingetheilt

      1) in Absicht auf die Linien

        1) in geradlinigte

        2) ⁅in⁆ krumm⁅linigte⁆

Fig. 2

        3) ⁅in⁆ vermischt⁅linigte⁆

      2) ⁅in Absicht auf die⁆ Neigung in

        1) gerade, ˚eine Neigung ˚der Perpend.ikularen zur Horiz.ontalen Lin.ie z.E. [Fig. 2]

        2) schiefe 1) spitz 2) stumpf

[datum: 30.05.2019]


[XXV.46 (4v)] ms B6



2) bestimmte Fläche: ˚durch Linien auf all.en Seiten bestimmt

  1) ˚durch gerade Linien: ˚.und ˚.zwar

   1) ˚durch 3: dahin gehören Triangel: diese sind mancherl.ei, da [Fig. 1] da ab die Basis, bc, ˚.und ca die Schenkel und c ˚die Spitze

Fig. 2

Fig. 1

    1) in Absicht auf ihre Seiten

     1) gleichseitige, da [Fig. 2] da ab = bc = ac

     2) ungleichs:eitige

      1) gleichschenkeligte [Fig. 3] da ab = bc ˚.und ¿ als bc.

Fig. 4

Fig. 3

      2) völlig ungleichseitige, scalen.

    2) in Absicht auf die Winkel

     1) rechtwinkeligt: [Fig. 4] da ab ˚der Cathete: bc basis ˚und ac Hypothenuse heißt[a]

     2) schiefwink.eligte

      1) spitzw:inkeligte da alle 3 spitze ˜Winkel ˚sind

      2) schiefw.inkeligte da ˚.ein schiefer ist

   2) ˚durch 4: dahin ˚die 4ecke diese sind

    1) in Absicht auf ˚die Seiten

[b]

     1) Parallelogr.amme

     2) Trapez.e

[This line was added later, written to the right of the above three lines] ‹Alle Parallelogramme werden durch die diagonale Linie in 2 Theile getheilt. 2 Parallelogramme von einer Basis und Höhe sind gleich.›

    2) ⁅in Absicht auf die⁆ Winkel

     a) mit rechten[c] Winkeln

      1) Quadrat, Rektangel

     b) [d]⁅mit⁆ schiefen: Rhomb.us Rhomb.us

[The next fives lines were added later, written to the right of the above four lines.]

   ‹ Cirkel

gleiche Sehnen geben gl.eiche Bogen ˚.und ʾvice versa

˚Eine Perpendik.ulare ˚.aus ˚den Center theilt Sehne ˚.und Bogen gl.eich ʾvice versa

Winkel an ˚der Periph.erie ˚.hat ˚das halbe Maas des Bogens etc.

Triangel, deßen Basis ˚die Per.ipherie des[e] Cirkels, @Cathet.e@ ˚der Radius ist ˜gleich Cirk.el

   3) durch mehr:ere Polygone, z.E. fünf etc. diese ˚sind

    1) regelmäss.ig ˚wenn alle Seiten ˚.und Winkel ˜gleich ˚sind

    2) un⁅regelmässig⁆

[The following five lines were added later and are written to the right of the above text:]

   ‹ Polyg.on

Jedes regul.äre Polyg.on ist = Triangel, deßen Bas.is ˚die Seite des Polygons

    Cathet.e ˚die Perpend.ikular, ˚.aus dem Mittelp.unkt zu

    ˚einer Chorde gezogen

˚Die Seite des Hexagons ist = dem Semidiameter

  2) ˚durch krumme Linien, z.E.

   1) Cirkel, dessen Mittelpunkt, Durchmesser, Radien, Sektor, Tangente, ˚.und Saite zu merken ist

   2) Ovalfigur ˚.und Ellipse

   3) [f] Cylinder etc. etc.

   4) [Text breaks off.]

[The following six lines were written in the same hand and ink as the insertions written to the right of the text above.]

Triangel sind gleich: ˚wenn 2. Seiten etc.

Im gleichschenkel.igen Triangel ˚sind ˚die Winkel ad basin [gleich]

Alle 3 Winkel gl.eich 180 Grad.

2. Triangel ˚.von ˚einer Basis ˚.und Höhe [sind] ˜gleich

Triangel ˚die Hälfte ˚.vom Parall.elogramm

Bei ˚einem Rechtwink.eligen [Triangel] ist ˚das Quadr.at ˚der Hypoth.enuse

[datum: 30.05.2019]


[XXV.46 (3r)] ms B7



@1.@ Proportion der Größen: a) [a] Rat.ional inter duas    quant.itas commensurabilis

           b) Irrat.ionalional hier Rational

α) bei Triang.el a) ˚wenn im Triangel: recta    parall.ele   Basis: alsdenn Proportion

       b) gleichwinkel.ige Tr.iangel ˚sind ähnl:ich, Seiten @proportional@

       c) proport.ionale Seiten geben gl.eiche Winkel = also ähnlich

  hier˚.aus finden a) ˚die 3te

         b) ˚die 4te

         c) ˚die mitl.ere Prop.ortion

β) bei Parall.elogramme – Par.allelogramme ˚.von gl.eicher Höhe ˚sind ˚.wie ˚.die Bases

           2 Rect.angel ˚sind in rat.ione compos.ita Bas.is et altit.udo

II) Hier˚aus Problem.atik a) für ˚die Euthymetrie[1]

           b) ⁅für ˚die⁆ [b] (Ichnographie[2] anmerken)

           c) ⁅für ˚die⁆ Altimetrie[3]

           d) Epipedometrie[4] (Oberfläche

           e) Geodesie[5] (plan.ities in Theile Theil.en

III. Stereometrie[6]

   α) Begriffe: [c] Cubus : Maas

         Parallelepipedon[d]

         Prism.en, Pyramide, Cylinder, Kegel

   β) [e] Verhältn.isse ˚.und Lehrs.ätze

   γ) Ausmeß.ung: 1) Oberfl.äche

         2) des körperl.ichen Inh.alts

[datum: 30.05.2019]


[XXVI.5(9)] ms C1



Theoremata 1) ˚der Longimetrie A) Linien

1) ˚Der ˚Durchmeßer ist ˚die größte ˚der geraden Linien in ˚einem Zirkel

  Sein bogen ⁅ist⁆ ˚die halbe Peripher.ie – ist ˚.auch ˚der Bogen ˚der grosten Sehnen

  Je größer ˚die Sehnen, desto ˚.großer ˚die Winkel; so wohl Cent.er als Per.ipherie

  ˚die Winkel also ˚.aus ˚den gegenüberstehenden Seiten; ˚die Seite des stumpten größer

2) ˚Die Perpend. ˚.aus dem Centr.um ˚.auf ˚die Chord. theilt s.ie ˚.und ˚den bogen drunter ˚.und ʾvice versa

  ˚.aus 3. gegeben Punkten ˚.ein Cirkel:

  Triangel in ˚einen zirkel

  Zum Stück des Cirkels ˚die Peripherie; zum Polygon winkel ˚den ganzen Zirkel

  Gleiche bogen, gleiche Sehnen ˚.und ʾvice versa

  ˚.ein gleichseit.ige Triangel ˚eingeschlossen ˚h.at gleiche Bogen

3) Diagonal theilt ˚das Parallelogr.am, also Triangeln ˜gleich bas.is ˚.und hohe ist ½ Parall.elogram

4) 100 : 314 = Diamet.er ˜Zirkel = perimet.er

5) ˚Der Bogen zwischen 2. Seiten ˚eine Winkels, verhalten ˚sich nach ihr.en Länge ˚.wie ˚die ˚durchmeßer @zieht@ ˚.ein Zirkel

      B) Winkeln

1) Anguli deinceps positi = 180° ; ˚.von ˚einem Winkel kan ich s.ie ˚den andern schliessen

2) ⁅Anguli⁆ contigui um ˚eine Spitze = 180°; also laüft ˚den Zirkel in ˜gleiche Theile theilen

                     ˚.ein regular Vieleck bescheiden ˚.und

                     s. Zent. Winkel ¿¿den

3) ⁅Anguli⁆ vertical. ˚sind ˚sich ˜gleich

4) ⁅Anguli⁆ alterni bei Parall.elen ˚sind ˜gleich ˚.und ʾvice versa

    ˚der äußere ˚.und innere ˚sind ˜gleich ; im Triangel gl.eich 2. gegen überstehenden

5) in aequicrur. ˚sind ˚die ˜kleiner ad bas.is gl.eich ʾvice versa ˚.und ˚.auch bei gleichseitigen

6) ang.uli ad centr. ist 2. als ad peripher. ˚.auf ˚einem bogen: ˚der also ˚des Maas etc. also rechte Winkeln etc.

7) alle ˚die Winkel ˚sind = 180° – ˚.aus ˚einem ˚die ubrigen etc. nur 1. recht etc. 1. stpher

    C) Figuren

1) Gleichh.eit ˚der Triangel.n – 1) ˚Wenn alle ˚die Seiten: 2. Seiten ˚.und Wink.eln etc.

Im Rechtwinkel.n – im Gleichshenk.eln

2) @Triangeln@ ˚.von ˜gleiche bas.is ˚.und hohe ˚sind ˜gleich also ˚einen ˜Dreieck in andere ˚.und ˜Dreieck in ˜Rechteck

verwandeln, ˚.und ˜Quadrat mit ˜Rhombus etc.

2) Ähnlichk.eit – a) ˚wenn s.ie ˜gleich ˚sind a maiori etc.

        2) ˚wenn alle ˚die gleichnamige Winkel ˜gleich ˚sind; Beweis ˚durch ˚den Zirkel, in ˚den ˚eingeschl.ossen

ab =tate @˜Anguli / ˜weniger@ nim ad :tem later. val qhig. ˚.und ʾvice versa

3) ˚wenn ˚.man im ˜Dreieck ˚einen – parall.elen ˚.mit ˚der bas.is zieht; ˚sind beide ähnl.ich

  gleichnam. Seiten ˚sind : gleiche Theilen; also Proport.ion compon. @vertied@

  zu 2. proport.ion ˚die 3tr zu fieden

4) ˚sind 2. gleichnam.ige Seiten: 2. andere ˚.und ˚der ˜Winkel ˜gleich ist; so ˚die ganzen ˜Dreieck ahnlich

5) ist 1. ⁅gleichnam. Seiten⁆: ˚der ⁅andere ˚.und⁆ ˚die 2 Wink.eln ˜gleich andere so etc.

Ahnl.iche Triangeln faden

[datum: ]


[XXVI.5(10)] ms C2



6) ˚.Ein Perpendikel in ahnl.ich ˜Dreieck theilt ˚.sie ähnl.ich denn alle Seiten ˚sind prop.ortional

   also in ähnlichen ˜Dreieck verhalten ˚sich ˚die bas.is ˚.wie ˚die Hohen

7) ˚.Ein Perpend.ikel ˚.aus ˚der Spitze des rechtwink.el macht 3. ähnl.iche Triangel.en ˚der ˚grosser ˚.und ˚die 2. kl.einer

8) ⁅˚.Ein Perpend.ikel ˚.aus⁆ ˚einem ˜gleich schenkel.ige theilt ˜Winkel ˚.und ˜Dreieck ˚.und bas.is ˜gleich

9) ˚.aus ˚der Spitze des gleichseit.ige ˚Dreieck ˚eine peripher.ie läßt ˚sich ˚die Seite 6.mal heren tingen

   ˚.und also ˚der Radius 6.mal

    b) 4eck.ige Figuren

1) Alle quadr.at ist ˚sich ahnl:ich (˚die Digonallinie)

  Ahnl.iche ˜Dreieck geben Ahnl.iche ˜Rechtecken ʾvice versa – in ähnl.iche ˜Rechtecken also ˚die hohen: ˚.wie ˚die bas.is

2) ˚Der Raum des ˜Quadrat ist ˚das ˚.Ein ˚der bas.is × ˚.mit ˚der hohe etc. also verschiedne Figuren ˚.wie verschiedene bas.is ˚.und

  hohe ˚.und doch ˚einem Raum sehr leicht ˚durch Verand.erung ˚der Factorum etc. ˚.Ein Vieleck ist leicht in ˜Dreieck

  oder ˜Quadrat zu verwandeln: –– ˚Der Inhalt des ˜Dreieck ist ˚der halbe des ˜Rechteck entweder 1) ganz hohe ˚.und bas.is

  ˚.und: ˚.mit 2.                   oder 2) halbe ⁅hohe ˚.und⁆ b.asis

                         oder 3)

3) alle Parallelogr.am ˚.von ˚.gleichen bas.is ˚.und höhe ˚sind ˚sich ˜gleich

4) ˚die ähnl.iche ⁅Parallelogr.am⁆ verhalten ˚sich in ratione duplic.ata ˚der bas.is ˚.und hohen; so ˚.auch Triangel

5) theor.etische pythagor.eanisch etc. Mechan.ische Geometr.ische 2.

    c) ˚vieleckigte Figuren

1) Alle regul.are ˚Vielecke ˚werden in so ˚.viel ˜gleich ˜Dreieck ˚eingetheilt als ˚des ˚Vieleck Seiten ˚.hat

 ˚ .aus ˚einem Triangel als ˚den ˚die andere etc.

  Alle Cent.Wink.eln ˚sind ˚sich gleich etc. ˚.und ˚werden gesden ˚durch 360. dirid. ˚.mit ˚der Zahl ˚der Seiten

  ˚.und ˚der ⁅Cent. Wink.eln⁆ ˚.von 180 abgezogen gibt ˚den Polygon Winkel

2) ˚.Ein regul.ärische Vieleck ist ˜gleich ˚einem ˜Dreieck, daß hohe g ˜gleich ˚der hohe des ˜Dreieck ˚.und basis ˜gleich dem Perimet.er des ˚Vieleck

  so ˚die ˚Vielecke in Triangel in oblonga, Quadr.ata etc. ˚.sie kleinen oder grosser zu machen

  ˚das Trapes @beweihert@ ˚.man ˚durch ˚die Triäng.el in ˚die ˚die diagon.al Theilt, s.ie als ˚die halbe Grad Linien ˚.mit

  ˚den beiden hohern

3) Ahnliche ˚Vielecke ˚durch ˚die diagonal. in ahnl.iche ˜Dreieck: etc. so kanne ˚.man ˚.größ.ere in ahnl.ich kleinere bringen

  z.E. ˚.von felde Es Papier etc. so enstehen 2. ˜Dreick[a] @vernaiger@ als Seiten ˚sind etc. Also kan ˚.man ˚eine ahnl.iche fig.uren

  verstiegen 1) datis alle Seiten ˚der fig.uren ˚.und 3. Diagon.al – – –.

       2) ⁅datis alle Seiten ˚der fig.uren⁆ ˚.und 3. Winkel

       3) ⁅datis alle Seiten ˚der fig.uren⁆ weniger 2.

       4) ⁅datis alle ⁆ Winkel ⁅˚der fig.uren weniger⁆ 1.

4) alle Ahnl.iche (reg.ulare ˚.und irreg.ulare) Figuren stehen in ratione duplicata ihrer ˜gleiche namigen Seiten

5) ˚der ˚durch meßer ist ˚z.ur Peripher.ie ˚.wie 7 : 22. oder 100. : 314. ‹2/7› (˚.und ˚durch ˚die Regel detr.ie also ˚eines

 ist er nur ˚Vielengeln ˚.aus dem andern zu bestimmen: ˚.ein bogen zu rectificiren ˚.und ʾvice versa

6) ˚der Cirkel ist ˜gleich ˚einem Triangel, hoch ˚.wie ˚der Rad.ius nach ˚der bas.is ˚.wie. ˚die Peripherie; also ˚.auch zu berechnen

  1) ˚die ˚grose Peripherie ˚.und ganz Rad.ius Multip., ˚das fact. halbirt.

  2) ˚die halbe ⁅Peripherie⁆ ˚.und ⁅ganz Rad.ius Multip.⁆

  3) ʾvice versa

Wäre also ˚die [b] Diämet.er 100. ˚die Periph.erie 314. so ware ˚der Zirkel Zufalt 7850.

⁅Wäre also⁆ ˚ein Quadr.at deßen Seite 1000 so ˚die Inhalt 10000 also ˚.wie 785 : 1000 Zirkel ˚.und ¿

[datum: ]


[XXVI.5(21)] ms C3



Lehrsätze ˚der Planimetrie:

1) bei 4. Proport.ionale lin.ien ist ˚der flächeninhalt ˚.aus ˚der 1sten ˚.und 4. ˜gleich dem Inhalt ˚der mitlere factum extrem.

2) ⁅bei⁆ 3. ⁅Proport.ionale lin.ien ist ˚der flächeninhalt ˚.aus ˚der 1sten ˚.und⁆ 3. ⁅˜gleich dem Inhalt⁆ ˚der ⁅mitlere.⁆

3) Parellegr.am ˚.von ˜gleiche Geradlin.ige ˚.und höhen ˚sind ˚sich ˜gleich z.E. Quadrat ˚.und Rhombus.

4) ⁅Parellegr.am⁆ ˚.von[a] höhen ˚von falten ˚sich w.ie ˚die bas.is ˚.und ʾ.vice versa. Beweis ist ˚.ein Ex.empel z.E. 3 ˚.und 6.

5) Flächen Triangel ˚sind in ratione compos. ˚der höhen ˚.und Geradlinien ratio compos. ˚.wenn ˚.man ˚die mimbr. ration multiple

6) Im Rechtwinck.el Triang.el ˚sind (1) Quad.rat (2) Cirkel (3) oblonga (4) ahnl.iche Triangel (5) ahnl.iche Vielecke ˚der beiden Seiten zus.ammen @groß@

      = ˚das ⁅Quad.rat (2) Cirkel (3) oblonga (4) ahnl.iche Triangel (5) ahnl.iche Vielecke⁆ ˚der Hypothese.

7) ˚die Quadr.at fläche im Zirkel verhält ˚sich zu ˚der um den Zirk.el ˚.wie 1:2.

8) ˚die Zirkelflächen verhalten ˚sich gegen ˚ein andere ˚.wie ˚die Quadr.at flächen ihr. ˚durchmesser

9) ⁅˚die Zirkelflächen⁆ verhalt ˚sich z.um Quadr.atfl.ache des durchmessers ˚.wie ¼ ˚.von ˚der Periph.erie z.um ˚durchmeßer.

10) ˚.Weil ˚.ein ˜gleich seit.ige Triängei im Zirkel ˚eingeschlossen: so ist ˚das ˜Rechteck ˚einer Seite 3 mal so ˚.viel als ˚das ˚.von Rad.ius

   dasselben Zierkels oder ˚.von ˚der Seite des 6.ecks.

11) ˚das in ˚einen Zirkel ˚eingeschloßen Quadr.at ist doppelt so ˚.groß als ˚das Quadr.at ˚.von Rad.ius

    Lehrs.ätze ˚der Stereometr.ie

1) des Netz ˚eines rechtwink.el Prism.a ˚.und Parall.elogramme gleich ˚einem oblongs, lang als ˚der Perimet.er ˚der bas.is

                  hoch ⁅als⁆ ˚die höhe ˚der Korper.

2) ˚die Seitenfläche ⁅rechtwink.el⁆ Kegels ⁅gleich ˚einem⁆ sectori, dessen Rad.ius ˚die Seitenhöhe

                  ⁅dessen⁆ bogen ˚die Periph.erie ˚.von ˚der Grundfläche ‹des Kegels ist›

3) ˚Die Kugelfläche ist 4mal ˚.grosser als ˚die größte Cirkelfläche, d.i. ˚die ˚.mit dem Radio gezogen ist

  ⁅˚Die Kugelfläche ist⁆ also ˚.ein fact. ˚.aus dem ˚durchmeßer in ˚die Peripher.ie }   ˚.von ˜gleiche grundflächen

1) Alle Parallelippeda, Prism.en Cyl.indern ˚.von ˜gleiche bas.is ˚.und holen ˚sind ˜gleich }   verhalten ˚sich ˚.wie ˚die hölen

2) ⁅Alle⁆ Pyram.iden ˚.und Kegel, ˚.von ˜gleiche ⁅bas.is ˚.und holen ˚sind ˜gleich⁆ }

3) Jedes 2eck.ige Prism.a ˚wird in 2 ˚.grosse Pyr.amiden vertheilt

1) Jede Kugel ist ˜gleich ˚einer Pyram.ide, den bas.is ˚die ganze Kugelfläche; den höhe dem Rad.ius ˚der Kugel

2) ⁅Jede Kugel⁆ verhält ˚sich ˚.zum Würfel des ˚Durchmeß.er ˚.wie 157 zu 300.

3) ˚Die Kugeln verhalten ˚sich ˚.von ⁅Würfel⁆ ˚der ⁅˚Durchmeß.er

4) ⁅˚Die Kugel⁆ ist ⅔ ˚eines Cylinders ˚.von ˜gleiche höhe ˚.und dicke

1) Alle Prism.atische Parall.elogramme ˚sind in ratione composi. bas.is ˚.und altit.

2) ⁅Alle⁆ ahnl.iche Korp.ern verhalten ˚sich ˚.wie ˚die Cubi ihr. laterum homologorum oder ʾsunt in ratione implicata

   laterum homologorum.

[datum: ]


Explanatory Notes
[Mathematics]

ms A1


[1] [Vorerinnerungen in der Mathematik] Moretto (2015, 422) has pointed out that this title echoes that of the introduction to Abraham Gotthelf Kästner’s Anfangsgründe der Arithmetik (1758), namely: “Vorerinnerungen von der Mathematik überhaupt und ihrer Lehrart” (pp. 1-20). The first page of the B-signature also appears to follow Kästner, although more loosely (see).

A1-A2 appear to follow Kastner’s own “Vorerinnerungen”, beginning with the definition of ‘Größe’ in §1 (“Was einer Vermehrung oder Verminderung fähig ist, heißt eine Grösse … z.E. eine Menge Ducaten”) and ‘Maaß’ (§3: “eine Grösse, die man als bekannt ansieht”) ‘Messung’ (§4) is counting the units in something, and mathematics is “solche Lehren, vermittlest derer die Grössen durch Schlüsse verglichen werden” (§4).

Arithmetic (Kästner)/Mathesis universalis (Herder) is where one considers “die Grosse blos als eine Menge von Theilen” (§7). Kästner then proceeds to introduce geometry, trigonometry, algebra, analysis (§9) and applied mathematics: Buchhalten, Feldmessen (§10), Geschützkunst and Baukunst (§15), Schiffkunst (§16) as well as Mechanik, Statik, Hydrostatik, Aerometrie (§12), Optik, Katoptrik, Dioptrik (§13), mathematische Geographie, Gnomonik, Chronologie (§14), Musik (§16), Wahrscheinlichkeit (§17), as well as Zeichenkunst and Perspectiv and Mahlerkunst (§18), and even Fechten (§20).

[2] [Die Mathematik … in einem Dinge gesetzt sey] Kant presented a similar idea in his 1764 “Inquiry concerning the Distinctness of the Principles of Natural Theology and Morality”:

“The object of mathematics is magnitude. And, in considering magnitude, mathematics is only concerned with how many times something is posited. This being the case, it is obvious that this science must be based upon a few, very clear fundamental principles of the general theory of magnitudes (which, strictly speaking, is general arithmetic).” (AA 2: 282; Walford/Meerbote tr.)

This essay was written near the end of 1762.

[3] [Mathesis vniversalis] [universalis] See the parallel discussion at Math-B1.

[4] [Raum] Raum, Zeit, and Kraft also appear in a late note of Kant’s (in connection with Herder):

“Von meinem ältesten mit Paper durchschossenen Baumgartenschen Handbuch der Philosophie da Herder mein Zuhörer war. Raum, Zeit und Kraft. Lange vor der Kritik.” (AA 17: 257)

See the parallel discussion at Math-B1.

[5] [Mechanik] See the parallel discussion at Math-B1.

ms A2


[1] [blos zum Gebrauch] The similarity in presentation to Kästner (1758, 8-9) is striking:

“Die Zeichenkunst und Perspectiv sind das mathematische der Mahlerkunst […] Daß Künstler und Handwerker keine Kenntniß von der Mathematik haben, das beweiset nicht, daß die Mathematik ihnen unnütze sey. [9] Man kan Lehren brauchen, die man gelernt hat, ohne ihre Gründe zu wissen,[…].” [excerpt]

See the parallel discussion at Math-B1.

[2] [Pythagoras … Auditoren] Kant refers often to Pythagoras, likely acquiring much of his information from Brucker (1742-44) and Formey (1763). In his 1796 essay “On a Newly Arisen Superior Tone in Philosophy” Kant writes:

“But nor must we forget Pythagoras, of whom, indeed, we now know too little to make out anything certain about the metaphysical principle of his philosophy. As with Plato the wonders of shapes (in geometry), so with Pythagoras the wonders of numbers (in arithmetic), i.e., the appearance of a certain purposiveness, and a fitness seemingly imparted deliberately into their constitution for the solution of many rational tasks of mathematics, where intuition a priori (space and time), and not merely a discursive thinking, must be presupposed, awoke his attention as if to a sort of magic, simply in order to make intelligible the possibility, not only of the enlargement of our concepts of quantity as such, but also of their special and seemingly mysterious properties.” (AA 8: 392; Heath tr.)

[3] [Tugend] Virtue is a favorite example of conceptual analysis for Kant. In the Blomberg logic notes (dated to the early 1770’s, and so the oldest logic notes after Herder’s own) also mentions ‘virtue’ (Tugend) in the discussion of the clarity and marks of concepts:

“With these one is supposed to become conscious solely and simply of the marks that belong to the thing[,] e.g., with the concepts of virtue, of vice[;] and we therefore need do nothing but analyze and explicate, make the confused concepts distinct.” (AA 27: 131; Young transl.)

The Vienna logic (dated 1780-82) lists some of the relevant marks:

“E.g., virtue is a readiness in lawful actions, a readiness in actions that is adequate to the idea of the highest good[;] moreover, it is domination of the inclinations, and so on, and so on.” (AA 27: 847; Young transl.)

And again, from the same set of notes:

“E.g., if I say, Virtue is a readiness, a freedom in action, etc., here I seek through analysis one mark after another, in order thereby to attain the definition.” (AA 27: 923; Young transl.)

And the Dohna-Wundlacken logic notes from 1792:

“Not even philosophers have succeeded in wholly explicating the concept of virtue. […] some logical concepts are hard to define, e.g., the concept of virtue. There we are far short of having found all the marks. We name the following: a readiness in lawful actions that are done freely[;] but this is still not enough {it is moral strength in pursuit of these, with struggle against obstacles}.” (AA 27: 703, 728; Young transl.)

[4] [Erklärung] Kästner (1758):

“Sie fangen von Erklärungen an.... Ihre Erklärungen enthalten weder mehr noch weniger Merkmahle als die Sache, von der die Rede ist, zu erkennen zulänglich sind. Zuweilen bestehen diese Merkmahle in der Art, wie die Sache entstehen kann, woraus man denn ihre Möglichkeit einsieht, und solche Erklärungen besonders Sacherklärungen nennt (definitiones reales vel geneticae). Die andern heissen Worterklärungen (nominales) […].” [excerpt]

ms A3


[1] [Rechen Kunst] “Anfangs-Gründe der Rechen-Kunst” is the first of nineteen parts of Wolff’s Auszug. There are 99 numbered paragraphs to the “Rechenkunst”, as well as various other numbered series: explanations (Erklärungen), exercises (Aufgaben), notes (Anmerckungen), axioms (Grundsätze), and theorems (Lehrsätze). Herder’s notes from A1-A7 end with §51, which is the beginning of the 6th exercise (on division).

Wolff does not begin his “Rechen-Kunst” with a history, which is Kant’s own insertion, although he appears to be drawing from Wolff’s Kurzer Unterricht (1763) – see the following note.

[2] [Schon vor 2000 Jahren] This marginal addition to the brief history of mathematics given here in the notes may have been drawn in part from Wolff’s Kurzer Unterricht (1763), which begins with an overview of the literature on arithmetic (§§1-28):

“§2. Die Arithmetik der Alten findet man in den beyden Büchern des Nicomachi, welche er in dem dritten Jahrhunderte nach Erbauung der Stadt Rom geschrieben, und die A. 1538 zu Paris gedruckt worden sind. Aus ihm hat in dem sechsten Jahrhunderte nach Christi Geburt Anitius Manlius Severimus Boëthius seine Arithmeticam genommen.

“§3. Einen kurzen Begriff von der Arithmetik der Alten hat im neunten Jahrhunderte nach Christi Geburt, Psellus aufgesetzt, den Guilielmus Zylander aus dem Griechischen in die Lateinische Sprache übersetzt, und mit Anmerkungen A. 1556 in 8vo. herausgeben.”

“§6. Die erstere Art der Arithmetick hat Euclides in dem VII. VIII. und IX. Buche seiner Elementorum gründlich, obwohl nicht vollständig abgehandelt: und werden wir von diesen Büchern in dem folgdenden Kapitel ein mehreres zusagen haben.”

“§13. Andreas Tacquet hat in seiner Theoria & Praxi Arithmetices, welche ofters z.E. zu Amsterdam 1740 […] von neuem aufgelegt worden ist, die Elementa Arithmetica Euclidis leichter erwiesen, und die Regeln der Rechenkunst gleichfalls mit Beweisen versehen.”

Of the mathematicians mentioned here: Euclid (c.325-c.265 BCE), author of the Elements, is certainly the best known of the Greek mathematicians; Andreas Taquet (Wolff spells it ‘Taqcuet’) wrote several books mentioned by Wolff, including Elementis planae et solidae (Amsterdam 1701) – but there is no indication that Taquet translated Euclid (as suggested by an earlier mistranscription of the mathematics notes at AA 29: 52); Nicomachus of Gerasa (c.60-c.120 CE) was a Neo-Pythagorean; Michael Psellos (1018-1079) was a Byzantine Greek whose work was translated into Latin by the German mathematician Guilielmus Xylander (or: Wilhelm Holtzman) (1532-1576).

[3] [Archimedes Diophantus] Archimedes of Syracuse (288-212 BCE) and Diophantus of Alexandria (c.200-c.120 CE) were both mathematicians of Greek antiquity. Archimedes is routinely listed as one of the greatest scientists of all antiquity, and Diophantus is often called “the father of algebra”. Wolff discusses both men in his Kurzer Unterricht (1763): on Archimedes, see in particular §§39 (his books on spheres, cylinders, spirals, spheroids, and parabola), 158-59 (his work on mechanics), and 178 (his foundational work on hydrostatics); on Diophantus, see §§52, 58-60 (on algebra), 178, 276, 280. The notorious “Last Theorem” of Pierre de Fermat concerned an equation that he had found in Diophantus’s work and that he claimed had no solution.

[4] [1)] Wolff, Auszug, §1 of the “Rechenkunst”:

“1. Die Rechen-Kunst ist eine Wissenschaft zu rechnen, das ist, aus einigen gegebenen Zahlen andere zu finden, von denen eine Eigenschaft in Ansehung der gegebenen Zahlen bekannt gemacht wird.”

The numbers that follow (ending at 51) all refer to the numbered paragraphs in Wolff.

[5] [4 Species] §8 is a note in Wolff’s Auszug. The “four arithmetic species [Arten]” are addition, subtraction, multiplication, and division. By ‘numeriren’ is meant counting or numbering.

[6] [9. Addiren] Wolff’s Auszug, §9 of the “Rechenkunst”:

“Addiren heisset eine Zahl finden, welche verschiedenen Zahlen von einer Art zusammengenommen gleich ist. Die gegebene Zahlen werden die summirenden; die gefundene aber wird die Summe, oder das Aggregat genennet.”

[7] [12. Subtrahiren] Wolff’s Auszug, §12 of the “Rechenkunst”:

“Subtrahiren, oder abziehen ist so viel als eine Zahl finden, welche mit einer gegebenen Zahl von einer Art zusammengenommen, einer anderen gegebenen Zahl gleich ist. Die Zahl, welche durch Subtrahiren gefunden wird, heisset die Differentz, oder der Unterscheid der gegebenen Zahlen.”

[8] [15. Multipliciren] Wolff’s Auszug, §15 of the “Rechenkunst”:

“Multipliciren ist eine Zahl finden aus zwey gegebenen Zahlen, in welcher die eine gegebene so vielmahl enthalten ist, als die andere von den gebegenen Eines in sich begreift. Die Zahl, so gefunden wird, heisset das Product, oder Factum: Die gegebenen Zahlen werden die Factores genennet.”

[9] [Beweis] An identical diagram of this ABCD matrix is found in Kästner (1758, p. 22). The idea conveyed is also found in Wolff’s Auszug, §16 (Zusatz) of “Rechenkunst”:

“Multipliciren ist also nichts anders, als eine Zahl etliche mahl zu sich selbst addiren (§9).”

ms A4


[1] [17) Dividiren] Wolff’s Auszug, §17 of the “Rechenkunst”:

“Dividiren ist eine Zahl finden aus zwey gegebenen Zahlen, welche andeutet, wie vielmahl die eine gegebene Zahl in der anderen enthalten ist, und dannenhero Quotus, oder der Quotient, unterweilen auch der Exponent genennet wird.”

[2] [Divisor steckt] Wolff’s Auszug, §19 (2. Zusatz) of the “Rechenkunst”:

“Und wie vielmahl die eine gegebene Zahl, (welche Divisor genennet wird) in der anderen, (die man den Dividendum nennet) enthalten ist, so vielmahl muß Eines in dem Quotienten enthalten seyn.”

[3] [20] The first seven axioms in the “Rechenkunst” of Wolff’s Auszug (§§20, 22, 24-27, 29) are repeated in the notes. §20 reads: “Eine jede Zahl und Grösse ist ihr selber gleich.”

[4] [22] Wolff’s Auszug, §22, is the second axiom of the “Rechenkunst”:

“Wenn zwey Zahlen oder Grössen einer dritten gleich sind, so sind sie einander selber gleich.”

[5] [24] Wolff’s Auszug, §24, is the third axiom of the “Rechenkunst”:

“Wenn mann gleiches zu gleichem addiret, so kommen gleiche Zummen heraus. Wenn man aber gleiches zu dem grösseren und zu dem kleineren addiret: so ist die Summe in dem ersten Falle grösser, als in dem anderen.”

[6] [§60] This must be a miswrite; §60 of the “Rechenkunst” concerns fractions, which is not relevant here.

[7] [25] Wolff’s Auszug, §25, is the fourth axiom of the “Rechenkunst”:

“Wenn man gleiches von gleichem substrahiret: so bleibet gleiches übrig. Wenn man aber gleiches von dein grösseren und kleineren subtrahiret: so bleibet in dem ersten Falle mehr übrig als in dem andern.”

ms A5


[1] [26] Wolff’s Auszug, §26, is the fifth axiom of the “Rechenkunst”:

“Wenn man gleiches durch gleiches multipliciret: so kommen gleiche Producte heraus. Wenn man aber das grössere und das kleinere durch gleiches multipliciret: so ist das Product in dem ersten Falle grösser, als in dem anderen.”

[2] [27] Wolff’s Auszug, §27, is the sixth axiom of the “Rechenkunst”:

“Wenn man gleiches durch gleiches dividiret: so sind die Quotienten einander gleich. Wenn man aber das Grössere und das Kleinere durch gleiches dividiret: so ist der Quotient in dem ersten Falle grösser, als in dem anderen.”

[3] [29] Wolff’s Auszug, §29, is the seventh axiom of the “Rechenkunst”:

“Was grösser ist als eine von zwey gleichen Grössen, das ist auch grösser als die andere von denselben.”

[4] [31] Wolff’s Auszug, §31, is the first “arbitrary [willkührliche] proposition” of the “Rechenkunst”:

“Man gehe in Zählen nicht weiter fort, als bis auf zehen. Wenn man bis zehen gezählet, so fange man wieder von neuem an, nur daß man jederzeit dazu setze, wie vielmahl man schon zehen gezehlet.”

A similar discussion occurs at Math-B2.

[5] [auf die Zahl zehn] Wolff’s Auszug discusses this in a “Note” (§32):

“Dieses ist das allgemeine Gesetz, darnach man sich im Zählen richtet: und weil wie desselben von Jugend auf so gewohnet sind, scheinet es eine Nothwendigkeit zu haben. Die Ursache aber, warum man nur bis auf zehen zählet, ist sonder Zweifel daher zu holen, weil die Menschen die Sachen an ihren Fingern zu zählen pflegen, ehe sie sich im Rechnen geübet.”

ms A6


[1] [33] Wolff’s Auszug, §33, of the “Rechenkunst” is an additional comment to §31:

“Also hat man vor jede von den zehen Zahlen einen besondern Nahmen vonnöthen, und wiederum andere Nahmen, dadurch die Vielheit der Zehener bemercket wird. Jene sind eines, zwey, drey, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehen; diese aberzwantzig, dreyßig, vierzig, funfzig, sechzig, siebenzig, achtzig, neunzig, hundert.”

[2] [34] The notes merely summarize this “second arbitrary proposition” in Wolff’s Auszug.

[3] [32] Herder (or Kant) returns to this note to paragraph 31 (the “first arbitrary proposition”), explaining that we count to ten because we begin to use our (ten) fingers to count things informally before we are properly exposed to counting. The discussion of Leibniz and Weigel, etc., is an expansion of the discussion. [The account of Leibniz’s binary system appears to be confused.]

[4] [Leibniz … Fusci Buch gewesen] This is a garbled account of a binary (or “base-2”) number system, here credited to Leibniz and the I Ching, which was the occasion of Leibniz’s paper, first published in French in the Memoires de l'Academie Royale des Sciences (1703; reprinted in C. I. Gerhardt, ed., Die mathematische Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, VII: 223-227):

“What is amazing in this reckoning is that this arithmetic by 0 and 1 is found to contain the mystery of the lines of an ancient King and philosopher named Fuxi, who is believed to have lived more than 4000 years ago, and whom the Chinese regard as the founder of their empire and their sciences.” (p. 226)

[5] [Weigels Tetraktik] Erhard Weigel (1625-1699), studied mathematics in Leipzig and assumed the professorship of mathematics at Jena in 1652; Pufendorf and Leibniz both studied with him. He developed a base-4 number system, which he called the Tetraktys, and the usefulness of which he promoted in various of his writings; see Wolff (1734, cols. 1227-28) and ADB (1896, 41: 465-69). Kant mentions this in his Critique of the Power of Judgement (1788; AA 5: 254):

“in the understanding’s estimation of magnitudes (in arithmetic) one gets equally far whether one pushes the composition of the units up to the number 10 (in the decadic system) or only to 4 (in the tetradic system) […].”

[6] [nach Aristoteles Bericht] [??]

[7] [Gerberto von Fleury] Intended here is Gerbert of Aurillac (946-1003), a Benedictine scholar who studied first at the Benedictine monastary of Saint-Gerald at Aurillac, and was then given the opportunity to travel to Spain for several years at the cathedral school in Vich, near Barcelona, and was exposed to the latest developments in Islamic mathematics and astronomy. He served as a tutor for two years in the Roman home of Otto I (who, after Charlemagne, is considered the founder of what later became known as the Holy Roman Empire) and later led the cathedral school in Rheims, where he was instrumental in the introduction of Arabic numerals to the Latin west. Legends also developed that Gerbert made a pact with the devil – thus explaining his otherwise remarkable attainments in science and instrument making. These legends appear to have started with William of Malmesbury’s De Rebus Gestis Regum Anglorum.

[8] [36] Wolff’s Auszug, §36, is the 3rd “willkührliche Satz” of the “Rechenkunst”:

“Die neun Zahlen bemercke man mit folgenden Zeichen; 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. damit man aber auch die Zehener, Hunderte, Tausende u.s.w. dadurch andeuten kan, so gebe man ihnen ihre Bedeutung von der Stelle, in welcher sie stehen. Nemlich wenn sie entweder allein, oder in der ersten Stelle zur Rechten anzutreffen sind, sollen sie Einer bedeuten, in der anderen Zehener, in der dritten Hunderte, in der vierten Tausende u.s.w. Die leeren Stellen werden mit der Nulle 0 vollgefüllet, welche nemlich andeutet, daß darinnen keine Zahl anzutreffen.”

[9] [37] Wolff’s Auszug, §37 of the “Rechenkunst” is the following exercise:

“Eine geschriebene Zahl auszusprechen, das ist, einem jeden Zeichen in derselben seinen Werth zuzueignen.”

This is followed by a lengthy solution.

ms A7


[1] [38] Wolff’s Auszug, §38 of the “Rechenkunst” is the following exercise:

“Verschiedene Zahlen zu addiren.”

[2] [40] Wolff’s Auszug, §40 of the “Rechenkunst” is a “note” describing the “rule of 9” [??]:

“Wollet ihr demnach wissen, ob die gefundene Zahl so groß sey, wie die gegebenen zusammengenommen, so mercket (1) die besagten Einbeiten auf der Seite, und nach vollbrachter Rechnung zahlet sie zusammen, damit ihr sehet, wie vielmahl 9 im Summiren weggelassen worden. (2) Werfet über dieses noch aus der Summe so vielmahl 9 weg, als ihr könnet, und zählet die im Summiren weggelassenen mit dazu: die Zahl aber, so übrig bleibet, mercket so wohl, als die Anzahl der weggeworfenen Neunen. […]"

[3] [43] Wolff’s Auszug, §43 of the “Rechenkunst” is the following exercise:

“Eine kleinere Zahl von einer grösseren zu subtrahieren.”

[4] [49] Wolff’s Auszug, §49 of the “Rechenkunst” is the following exercise:

“Eine gegebene Zahl durch eine andere gegebenene Zahl zu multipliciren.”

[5] [50] Wolff’s Auszug, §50 of the “Rechenkunst” is a “note”:

“Wenn an einer Zahl Nullen hangen, so darf man dieselben nur hinten an das Product der übrigen Zahlen an einander anhängen […].”

[6] [51] Wolff’s Auszug, §51 of the “Rechenkunst” is the following exercise:

“Eine gegebene Zahl durch eine andere kleinere Zahl zu dividiren.”

ms B1


[1] [durch Schlüße] See the similar discussion at Math-A1, both following Kästner (1758, 1-20), although A1 more explicitly.

[2] [universalis] [durch Schlüße] See the parallel discussion at Math-A1.

[3] [Raum] Raum, Zeit, and Kraft also appear – connected with Herder – in a late note of Kant’s:

“Von meinem ältesten mit Paper durchschossenen Baumgartenschen Handbuch der Philosophie da Herder mein Zuhörer war. Raum, Zeit und Kraft. Lange vor der Kritik.” (AA 17: 257)

See the parallel discussion at Math-A1.

[4] [Mechanik] See the parallel discussion at Math-A1.

[5] [Nutzen] See the parallel discussion at Math-A2.

[6] [Pythagoras] See the parallel discussion at Math-A2.

ms B2


[1] [Ursprung] A similar discussion of Wolff’s Auszug, §31 of the “Rechenkunst”, occurs at Math-A5.

[2] [Gerbert von Fleury] See the similar discussion at Math-A6 and the corresponding note.

[3] [Diophantus] See the similar discussion at Math-A3 and the corresponding note.

[4] [die Zahlen] See the similar discussion of Wolff’s Auszug, §8 of the “Rechenkunst” at Math-A3.

[5] [mit Brüchen] Wolff’s Auszug, §§60-71, discusses fractions (Brüchen).

“Wenn man ein Gantzes in gleiche Theile genau eintheilet, und nimmet einen oder etliche Theile derselben, so nennet man es einen Bruch.” (§60)

ms B3


[1] [Quadrat- und Cubickzahlen] Wolff introduces square- and cube-numbers in his Auszug, §72 and 73 of the “Rechenkunst”:

“72. Wenn man eine Zahl durch sich seblst multipliciret, so nennet man das Product das Quadrat derselben Zahl; sie aber die Quadrat-Wurtzel, in Ansehung dieses Quadrats.”

“73. Multipliciret man die Quadrat-Zahl ferner durch die Wurtzel; so heisset das neue Product eine Cubic-Zahl, und in Ansehung derselben die Wurtzel nunmehro die Cubic-Wurtzel.

ms B4


[1] [Quadrat- und Cubickzahlen] Wolff introduces proportional relations in his Auszug, §81 of the “Rechenkunst”:

“81. In einer geometrischen Proportion ist das Product des ersten Gliedes in das vierte gleich dem Product aus dem andern in das dritte.”

[2] [Regel detrie] 'Regel detri' is an abbreviation of the Latin ‘regula de tribus terminis’ or ‘rule of three terms’; if two terms stand in a certain relation, then one can discern, given some third term, what its partner term must be.

ms B5


[1] [den Raum auszumessen] Wolff’s Auszug, §1 of the “Geometrie”:

“Die Geometrie ist eine Wissenschaft des Raums, den die cörperliche Dinge nach ihrer Länge, Breite und Dicke einnehmen.”

ms B7


[1] [Euthymetrie] Wolff’s Lexikon (1734, col. 455) offers the following entry:

Euthymetria wird von einigen derjenige Theil der Geometrie genennet, welcher von den blossen Linien handelt.”

[2] [Ichnographie] Wolff’s Lexikon (1734, col. 659) offers the following entry:

Ichnographie, Ichnographia, heisset überhaupt derjenige Riß, worinnen man anzeiget, was eine iede Sache nach ihren Theilen auf dem erd-Boden vor einen Raum einnimmt; Und kommt dergleichen absonderlich vor in der Planimetrie. Insgemein pfleget man ihn einen Grund-Riß zu nennen, welches Wort ferner nachzuschlagen.”

[3] [Altimetrie] Wolff’s Lexikon (1734, col. 60) offers the following entry:

Altimetrie, Altimetria wird die Wissenschafft genennet, die Höhen zu messen. Sie ist ein Theil der Euthymetrie, immassen selbe nur einzelne Linien,, und zwar ihrer perpendicularen Länge nach ausmisset. Doch thut sie auch in der Epipedometrie und vornemlich bei bergigten Flächen ihre Dienste. […]”

[4] [Epipedometrie] Wolff’s Lexikon (1734, col. 433) offers the following entry:

Epipedometrie, wird von einigen derjenige Theil der Geometrie genennet, der von denen Flächen handelt.”

[5] [Geodesie] Wolff’s Lexikon (1734, col. 535) offers the following entry:

Geodesie, wird von einigen die ausübende Geometrie genennet, wo man durch Instrumente von verschiedener Art die Höhen, Tieffen, Weiten, und dergleichen accurat abzunehmen lehret; wovon unter dem Wort: Geometria, weiter gehandelt wird.”

[6] [Stereometrie] Wolff’s Lexikon (1734, col. 1185) offers the following entry:

Stereometrie ist derjenige Theil der ausübenden Geometrie, welcher lehret, wie man die Cörper nicht nur ausrechnen, oder ihren Inhalt finden soll, sondern welcher auch anweiset, wie man dieselben nach Verlangen zerschneiden könne. Den Grund zu dieser Wissenschaft haen Euclides in seinen Elementis, und Archimedes in seinem Buche de Sphara & Cylindro geleget. […]”


Textual Notes
[Mathematics]

[Here is a mark-up key for the transcription.]

ms A1


[a] 'Eines' is written above a crossed out 'etwas'.

[b] '˚.Exempel Dukaten' is written above a crossed out 'Das Maas einen'.

[c] An 'eine' is crossed out.

[d] 'allemal aber' appears to be added later at the end of the previous line, and then a 'durch' is written between the lines, crossed out, and 'durch ˚einen Maasstab.' is written in the far-left margin, as a continuation of the insertion.

[e] A 'etwas' is crossed out.

[f] A 'gebauet' is crossed out.

ms A2


[a] '˚.aus' is written over the 'in blos' of a crossed out 'daher m¿¿¿t in blos'.

[b] An 'S.' is written here, presumably inadvertently.

[c] An entire line is crossed out here: 'Anmerkung erläube ˚.und anpl¿¿'.

[d] An entire line is crossed out here: 'Ihre Ez¿¿ sind ˚die .....'.

[e] An '˚.und' is crossed out.

ms A3


[a] Reading 'Nicomach' as 'Nikomachos'.

[b] A 'pr¿¿' is crossed out.

[c] An 'E' is crossed out.

[d] A 'kleineren'(?) is crossed out.

[e] A 'Z' is crossed out.

ms A4


[a] 'gleiches' is written above a crossed out 'groß'.

[b] 'gleiches' is written above a crossed out 'klein'.

ms A5


[a] '31'?.

[b] Several words are crossed out, and several more that were written above the line. A '˚durch' can be seen in this confusion, but it is unclear whether or not it is crossed out.

[c] Several words are crossed out here: '˚.und die/der Menschen ¿¿¿ ˚den ¿¿ Eigenen.'.

[d] A left-parenthesis is crossed out.

ms A6


[a] A letter is crossed out.

[b] A '˚sich' is overwritten.

[c] Reading ‘Fohi’ as ‘Fusci’.

[d] ??.

[e] Reading '˚das' as 'daß'.

[f] A letter is crossed out.

[g] An 'untersten' is crossed out.

[h] A 'w' is possibly crossed out.].

ms A7


[a] A 'gibt'(?) is crossed out.

ms B1


[a] A 'hie' is crossed out.

[b] 'Jahre' is written above a crossed out 'Tage'.

[c] 'Bewegkraft, Dynamik' appears to have been inserted above the line below that is preceded by a crossed out '1) in'.

[d] A 'der' is crossed out.

[e] A crossed out 'st.' follows 'Hydro', correcting 'Hydrostatik' to 'Hydrodynamik'.

[f] A 'Menschen' appears to have been rubbed out here.

[g] An '˚.und' is crossed out.

[h] 'in' is written above a crossed out 'zur'.

ms B2


[a] This line appears to have been inserted between the other two lines (but simultaneously with them).

[b] A 'd¿' is crossed out.

[c] 'die Regeln' overwrites other text.

[d] An 'e' at the end of 'ein' has been crossed out.

[e] A 'vom' appears to be corrected to 'von'.

ms B3


[a] The 'd' overwrites another letter.

[b] The paper is torn here.

[c] A 'das M.' is crossed out.

[d] The 'm' overwrites a 'ba'(?).

[e] An 'Erklärung' is crossed out, along with the following 'Ben', which we have retained.

[f] This word was corrected.

[g] Reading 'in' as 'mit'.

ms B4


[a] The beginning of this word is lost to a tear in the page.

[b] A 'Prop¿rte Progress.' is crossed out.

[c] 'hat' overwrites 'ist'(?).

[d] A 'Regeln: Veränderung' is crossed out, and the following is inserted here from the line above.

[e] A 'folgl.ich' is crossed out.

[f] A 'wese' is crossed out.

[g] 'Reading '˚die' as '˚das'.

[h] A 'Proport.ionen' is crossed out.

[i] 'äußersten' is written above a crossed out 'lezten Pesten(?)'.

[j] A 'Zahl' is crossed out.

ms B5


[a] A 'Sie' is crossed out.

[b] An 'Erd' is crossed out.

[c] 'Historie da sie' is written above a crossed out 'Ursprung ¿¿¿'.

[d] A concluding 'm' is crossed out.

[e] 'die' corrects 'denen'(?) and a 'Maas' is crossed out.

[f] 'unbestimmte' corrects a previous word.

ms B6


[a] Reading 'heß' as 'heißt'.

[b] A 'a) ¿¿¿' is crossed out.

[c] 'rechten' is written above a crossed out 'gleichen'.

[d] A '2)' is written directly below the '1)'.

[e] Reading '˚der' for '˚des'.

[f] An 'Ellipse' is crossed out.

ms B7


[a] An 'N¿', and then an 'A¿' are crossed out.

[b] A 'Planimet' is crossed out.

[c] A letter is crossed out.

[d] Reading 'Paralleg' as 'Parallelepipedon'.

[e] An 'Ausmeß.ung' is crossed out.

ms C1


[a] '˚.von' overwrites '˚durch'.

ms C2


[a] '˜Dreick' is written above a crossed out 'Seiten'.

[b] A 'Seit' is crossed out.

ms C3


[a]