Mathematics: XXVI.5(C)

Theoremata 1) ˚der Longimetrie A) Linien

1) ˚Der ˚Durchmeßer ist ˚die größte ˚der geraden Linien in ˚einem Zirkel

  Sein Bogen ⁅ist⁆ ˚die halbe Peripher.ie – ist ˚.auch ˚der Bogen ˚der grosten Sehnen

  Je größer ˚die Sehnen, desto ˚.großer ˚die Winkel; so wohl Cent.er als Per.ipherie

  ˚die Winkel also ˚.aus ˚den gegenüberstehenden Seiten; ˚die Seite des stumpfen größer

2) ˚Die Perpend.ikel ˚.aus dem Centr.um ˚.auf ˚die Chord. theilt s.ie ˚.und ˚den Bogen drunter ˚.und ʾvice versa

  ˚.aus 3. gegeben Punkten ˚.ein Cirkel:

  Triangel in ˚einen Zirkel

  Zum Stück des Cirkels ˚die Peripherie; zum Polygon winkel ˚den ganzen Zirkel

  Gleiche Bogen, gleiche Sehnen ˚.und ʾvice versa

  ˚.ein gleichseit.ige Triangel ˚eingeschlossen ˚h.at gleiche Bogen

3) Diagonal theilt ˚das Parallelogr.am, also Triangeln ˜gleich bas.is ˚.und hohe ist ½ Parall.elogram

4) 100 : 314 = Diamet.er ˜Zirkel = perimet.er

5) ˚Der Bogen zwischen 2. Seiten ˚eine Winkels, verhalten ˚sich nach ihr.en Länge ˚.wie ˚die ˚durchmeßer @zieht@ ˚.ein Zirkel

      B) Winkeln

1) Anguli deinceps positi = 180°; ˚.von ˚einem Winkel kan ich s.ie ˚den andern schliessen

2) ⁅Anguli⁆ contigui um ˚eine Spitze = 180°; also laüft ˚den Zirkel in ˜gleiche Theile theilen

                     ˚.ein regular Vieleck bescheiden ˚.und

                     s. Zent. Winkel ¿¿den

3) ⁅Anguli⁆ vertical. ˚sind ˚sich ˜gleich

4) ⁅Anguli⁆ alterni bei Parall.elen ˚sind ˜gleich ˚.und ʾvice versa

    ˚der äußere ˚.und innere ˚sind ˜gleich; im Triangel gl.eich 2. gegen überstehenden

5) in aequicrur. ˚sind ˚die ˜kleiner ad bas.is gl.eich ʾvice versa ˚.und ˚.auch bei gleichseitigen

6) ang.uli ad centr. ist 2. als ad peripher. ˚.auf ˚einem Bogen: ˚der also ˚des Maas etc. also rechte Winkeln etc.

7) alle ˚die Winkel ˚sind = 180° – ˚.aus ˚einem ˚die ubrigen etc. nur 1. recht etc. 1. stpher

    C) Figuren

1) Gleichh.eit ˚der Triangel.n – 1) ˚Wenn alle ˚die Seiten: 2. Seiten ˚.und Wink.eln etc.

Im Rechtwinkel.n – im Gleichshenk.eln

2) @Triangeln@ ˚.von ˜gleiche bas.is ˚.und hohe ˚sind ˜gleich also ˚einen ˜Dreieck in andere ˚.und ˜Dreieck in ˜Rechteck

verwandeln, ˚.und ˜Quadrat mit ˜Rhombus etc.

2) Ähnlichk.eit – a) ˚wenn s.ie ˜gleich ˚sind a maiori etc.

        2) ˚wenn alle ˚die gleichnamige Winkel ˜gleich ˚sind; Beweis ˚durch ˚den Zirkel, in ˚den ˚eingeschl.ossen

  ab =tate @˜Anguli / ˜weniger@ nim ad :tem later. val qhig. ˚.und ʾvice versa

3) ˚wenn ˚.man im ˜Dreieck ˚einen – parall.elen ˚.mit ˚der bas.is zieht; ˚sind beide ähnl.ich

  gleichnam. Seiten ˚sind : gleiche Theilen; also Proport.ion compon. @vertied@

  zu 2. proport.ion ˚die 3tr zu fieden

4) ˚sind 2. gleichnam.ige Seiten: 2. andere ˚.und ˚der ˜Winkel ˜gleich ist; so ˚die ganzen ˜Dreieck ahnlich

5) ist 1. ⁅gleichnam. Seiten⁆: ˚der ⁅andere ˚.und⁆ ˚die 2 Wink.eln ˜gleich andere so etc.

Ahnl.iche Triangeln faden

6) ˚.Ein Perpendikel in ahnl.ich ˜Dreieck theilt s.ie ähnl.ich denn alle Seiten ˚sind prop.ortional

   also in ähnlichen ˜Dreieck verhalten ˚sich ˚die bas.is ˚.wie ˚die Hohen

7) ˚.Ein Perpend.ikel ˚.aus ˚der Spitze des rechtwink.el macht 3. ähnl.iche Triangel.en ˚der ˚grosser ˚.und ˚die 2. kl.einer

8) ⁅˚.Ein Perpend.ikel ˚.aus⁆ ˚einem ˜gleich schenkel.ige theilt ˜Winkel ˚.und ˜Dreieck ˚.und bas.is ˜gleich

9) ˚.aus ˚der Spitze des gleichseit.ige ˚Dreieck ˚eine peripher.ie läßt ˚sich ˚die Seite 6.mal heren tingen

   ˚.und also ˚der Radius 6.mal

    b) 4eck.ige Figuren

1) Alle quadr.at ist ˚sich ahnl:ich (˚die Digonallinie)

  Ahnl.iche ˜Dreieck geben Ahnl.iche ˜Rechtecken ʾvice versa – in ähnl.iche ˜Rechtecken also ˚die hohen: ˚.wie ˚die bas.is

2) ˚Der Raum des ˜Quadrat ist ˚das ˚.Ein ˚der bas.is × ˚.mit ˚der hohe etc. also verschiedne Figuren ˚.wie verschiedene bas.is ˚.und

  hohe ˚.und doch ˚einem Raum sehr leicht ˚durch Verand.erung ˚der Factorum etc. ˚.Ein Vieleck ist leicht in ˜Dreieck

  oder ˜Quadrat zu verwandeln: –– ˚Der Inhalt des ˜Dreieck ist ˚der halbe des ˜Rechteck entweder 1) ganz hohe ˚.und bas.is

  ˚.und: ˚.mit 2.                   oder 2) halbe ⁅hohe ˚.und⁆ b.asis

                         oder 3)

3) alle Parallelogr.am ˚.von ˚.gleichen bas.is ˚.und höhe ˚sind ˚sich ˜gleich

4) ˚die ähnl.iche ⁅Parallelogr.am⁆ verhalten ˚sich in ratione duplic.ata ˚der bas.is ˚.und hohen; so ˚.auch Triangel

5) theor.etische pythagor.eanisch etc. Mechan.ische Geometr.ische 2.

    c) ˚vieleckigte Figuren

1) Alle regul.are ˚Vielecke ˚werden in so ˚.viel ˜gleich ˜Dreieck ˚eingetheilt als ˚des ˚Vieleck Seiten ˚.hat

 ˚ .aus ˚einem Triangel als ˚den ˚die andere etc.

  Alle Cent.Wink.eln ˚sind ˚sich gleich etc. ˚.und ˚werden gesden ˚durch 360. dirid. ˚.mit ˚der Zahl ˚der Seiten

  ˚.und ˚der ⁅Cent. Wink.eln⁆ ˚.von 180 abgezogen gibt ˚den Polygon Winkel

2) ˚.Ein regul.ärische Vieleck ist ˜gleich ˚einem ˜Dreieck, daß hohe g ˜gleich ˚der hohe des ˜Dreieck ˚.und basis ˜gleich dem Perimet.er des ˚Vieleck

  so ˚die ˚Vielecke in Triangel in oblonga, Quadr.ata etc. s.ie kleinen oder grosser zu machen

  ˚das Trapes @beweihert@ ˚.man ˚durch ˚die Triäng.el in ˚die ˚die diagon.al Theilt, s.ie als ˚die halbe Grad Linien ˚.mit

  ˚den beiden hohern

3) Ahnliche ˚Vielecke ˚durch ˚die diagonal. in ahnl.iche ˜Dreieck: etc. so kanne ˚.man ˚.größ.ere in ahnl.ich kleinere bringen

  z.E. ˚.von felde Es Papier etc. so enstehen 2. ‹˜Dreick›[a] @vernaiger@ als Seiten ˚sind etc. Also kan ˚.man ˚eine ahnl.iche fig.uren

  verstiegen 1) datis alle Seiten ˚der fig.uren ˚.und 3. Diagon.al – – –.

       2) ⁅datis alle Seiten ˚der fig.uren⁆ ˚.und 3. Winkel

       3) ⁅datis alle Seiten ˚der fig.uren⁆ weniger 2.

       4) ⁅datis alle ⁆ Winkel ⁅˚der fig.uren weniger⁆ 1.

4) alle Ahnl.iche (reg.ulare ˚.und irreg.ulare) Figuren stehen in ratione duplicata ihrer ˜gleiche namigen Seiten

5) ˚der ˚durch meßer ist ˚z.ur Peripher.ie ˚.wie 7 : 22. oder 100. : 314. ‹2/7› (˚.und ˚durch ˚die Regel detr.ie also ˚eines

 ist er nur ˚Vielengeln ˚.aus dem andern zu bestimmen: ˚.ein Bogen zu rectificiren ˚.und ʾvice versa

6) ˚der Cirkel ist ˜gleich ˚einem Triangel, hoch ˚.wie ˚der Rad.ius nach ˚der bas.is ˚.wie. ˚die Peripherie; also ˚.auch zu berechnen

  1) ˚die ˚grose Peripherie ˚.und ganz Rad.ius Multip., ˚das fact. halbirt.

  2) ˚die halbe ⁅Peripherie⁆ ˚.und ⁅ganz Rad.ius Multip.⁆

  3) ʾvice versa

Wäre also ˚die [b] Diämet.er 100. ˚die Periph.erie 314. so ware ˚der Zirkel Zufalt 7850.

⁅Wäre also⁆ ˚ein Quadr.at deßen Seite 1000 so ˚die Inhalt 10000 also ˚.wie 785 : 1000 Zirkel ˚.und ¿

Lehrsätze ˚der Planimetrie:

1) bei 4. Proport.ionale lin.ien ist ˚der flächeninhalt ˚.aus ˚der 1sten ˚.und 4. ˜gleich dem Inhalt ˚der mitlere factum extrem.

2) ⁅bei⁆ 3. ⁅Proport.ionale lin.ien ist ˚der flächeninhalt ˚.aus ˚der 1sten ˚.und⁆ 3. ⁅˜gleich dem Inhalt⁆ ˚der ⁅mitlere.⁆

3) Parellegr.am ˚.von ˜gleiche Geradlin.ige ˚.und höhen ˚sind ˚sich ˜gleich z.E. Quadrat ˚.und Rhombus.

4) ⁅Parellegr.am⁆ ˚.von[a] höhen ˚von falten ˚sich w.ie ˚die bas.is ˚.und ʾ.vice versa. Beweis ist ˚.ein Ex.empel z.E. 3 ˚.und 6.

5) Flächen Triangel ˚sind in ratione compos. ˚der höhen ˚.und Geradlinien ratio compos. ˚.wenn ˚.man ˚die mimbr. ration multiple

6) Im Rechtwinck.el Triang.el ˚sind (1) Quad.rat (2) Cirkel (3) oblonga (4) ahnl.iche Triangel (5) ahnl.iche Vielecke ˚der beiden Seiten zus.ammen @groß@

      = ˚das ⁅Quad.rat (2) Cirkel (3) oblonga (4) ahnl.iche Triangel (5) ahnl.iche Vielecke⁆ ˚der Hypothese.

7) ˚die Quadr.at fläche im Zirkel verhält ˚sich zu ˚der um den Zirk.el ˚.wie 1:2.

8) ˚die Zirkelflächen verhalten ˚sich gegen ˚ein andere ˚.wie ˚die Quadr.at flächen ihr. ˚durchmesser

9) ⁅˚die Zirkelflächen⁆ verhalt ˚sich z.um Quadr.atfl.ache des durchmessers ˚.wie ¼ ˚.von ˚der Periph.erie z.um ˚durchmeßer.

10) ˚.Weil ˚.ein ˜gleich seit.ige Triängei im Zirkel ˚eingeschlossen: so ist ˚das ˜Rechteck ˚einer Seite 3 mal so ˚.viel als ˚das ˚.von Rad.ius

   dasselben Zierkels oder ˚.von ˚der Seite des 6.ecks.

11) ˚das in ˚einen Zirkel ˚eingeschloßen Quadr.at ist doppelt so ˚.groß als ˚das Quadr.at ˚.von Rad.ius

    Lehrs.ätze ˚der Stereometr.ie

1) des Netz ˚eines rechtwink.el Prism.a ˚.und Parall.elogramme gleich ˚einem oblongs, lang als ˚der Perimet.er ˚der bas.is

                  hoch ⁅als⁆ ˚die höhe ˚der Korper.

2) ˚die Seitenfläche ⁅rechtwink.el⁆ Kegels ⁅gleich ˚einem⁆ sectori, dessen Rad.ius ˚die Seitenhöhe

                  ⁅dessen⁆ Bogen ˚die Periph.erie ˚.von ˚der Grundfläche ‹des Kegels ist›

3) ˚Die Kugelfläche ist 4mal ˚.grosser als ˚die größte Cirkelfläche, d.i. ˚die ˚.mit dem Radio gezogen ist

  ⁅˚Die Kugelfläche ist⁆ also ˚.ein fact. ˚.aus dem ˚durchmeßer in ˚die Peripher.ie }   ˚.von ˜gleiche grundflächen

1) Alle Parallelippeda, Prism.en Cyl.indern ˚.von ˜gleiche bas.is ˚.und holen ˚sind ˜gleich }   verhalten ˚sich ˚.wie ˚die hölen

2) ⁅Alle⁆ Pyram.iden ˚.und Kegel, ˚.von ˜gleiche ⁅bas.is ˚.und holen ˚sind ˜gleich⁆ }

3) Jedes 2eck.ige Prism.a ˚wird in 2 ˚.grosse Pyr.amiden vertheilt

1) Jede Kugel ist ˜gleich ˚einer Pyram.ide, den bas.is ˚die ganze Kugelfläche; den höhe dem Rad.ius ˚der Kugel

2) ⁅Jede Kugel⁆ verhält ˚sich ˚.zum Würfel des ˚Durchmeß.er ˚.wie 157 zu 300.

3) ˚Die Kugeln verhalten ˚sich ˚.von ⁅Würfel⁆ ˚der ⁅˚Durchmeß.er⁆

4) ⁅˚Die Kugel⁆ ist ⅔ ˚eines Cylinders ˚.von ˜gleiche höhe ˚.und dicke

1) Alle Prism.atische Parall.elogramme ˚sind in ratione composi. bas.is ˚.und altit.

2) ⁅Alle⁆ ahnl.iche Korp.ern verhalten ˚sich ˚.wie ˚die Cubi ihr. laterum homologorum oder ʾsunt in ratione implicata

   laterum homologorum.