Mathematics: XXV.46(B)

           Vorläufige    Erinnerungen

1) Erklärung: Mathematik (mathesis a (μαθεω disco) ˚eine Wissenschaft der Ausmeßung der Größen.

   Die Ausmeßung ist theils unmittelbar, durch einen Maßstab,

         ⁅ist theils⁆ mittelbar, ⁅durch⁆ Schlüße.[1]

2) Einteilung 1) vniversalis[2] (die allgemeine) die die Größe an sich ausmisst; [a] sie drückt die Größe aus

     α) durch Zahlen: Arithmetik

     β) ⁅durch⁆ andre Zeichen: Algebra

    2) specialis: die die Größe in besondern Dingen betrachtet. Diese Dinge sind

     α) Raum;[3] daher Geometrie ˚.und Trigonometrie

     β) Zeit: daher Chronologie, die die ‹Jahre›[b] } ausmißt.

        Gnomonik, die die Tage } ausmißt

     γ) Kraft: ‹α. Bewegkraft, Dynamik›[c]

         1) ‹in› vesten Körpern überhaupt: z.E. Mechanik[4]

          a) unserer Erde: Geographie

          b) der Himmelskörper: Astronomie

          c) des Lichts:

           1) [d] geradlinicht: Optik

           2) durchgeschlagen: Dioptrik

           3) zurückgeprallt: Catoptrik

          d) der Luft: Aerometrie

         2) in flüßigen Körpern Hydrodynamik,[e] oder Hydraulik

        β) stillstehende Kraft:

         1) in vesten Körpern: Statik

         2) in flüßigen ⁅Körpern:⁆ Hydrostatik.

3) Nutzen[5] 1) in wirklichen Künsten: z.E. α) [f]Perspektiv zum Mahlen: β) Artillerie zum Kriege: γ) Baukunst

         im gemeinen Leben: [g] im Kriege ˚.und zur See

     2) ‹in›[h] Bildung des Verstandes: 1) zur Gewißheit: durch ihre Beweise

                 2) ⁅zur⁆ Ordnung: ⁅durch ihre⁆ Methode.

Daher hieß sie bei den Griechen μαθημα (disciplina strictissime dicta), weil ‹man› sie bei ihnen trieb

   α) am frühsten: statt der Mythologie:

   β) am sorgfältigsten: Pythagoras[6] z.E.

   γ) als einen Probierstein der Fähigkeiten

Arithmetik ist entweder 1) vulgaris, die statt Beweise Proben } gibt

1) Einteilung      2) mathematica⁅, die statt⁆ Proben Beweise } gibt

2 Ursprung[1] 1) der gemeinen a) der Zahlbegriffe: ist sehr alt; bey denen handelnden Völkern gegesteigert

            b) der Zeichen der Zahlbegriffe 1) durch Sachen, z.E. durch Kerbstock, Franzen etc.

                    2) durch Bilder: so wohl ganze als hieroglyphische

                    3) ⁅durch⁆ Buchstaben: bei allen Oriental.ischen Nationen,

                      ‹˚.auch bei Römern, Griechen›[a]

                    4) ⁅durch⁆ Ziffern: von den Arabern erfunden, durch

                     Gerbert von Fleury[2] in Europa bekandt

                     gemacht.

  2) der Mathematischen bei den Griechen, z.E. Pythagoras und Römern z.E. Diophantus.[3]

3) Plan: sie geht um

  A) mit ganzen Zahlen. Dahin gehört

    1) das Numeriren: geht 1) in der Ordnung der Zahlen bis 10 willkührl.ich

             2) ⁅in der⁆ Stellung ⁅der Zahlen⁆ von der rechten Hand: orientalisch

             3) ⁅in dem⁆ Werth ⁅der Zahlen⁆ nach den Stellen, die 10fach wachsen

    2) die Species, als Arten, die Zahlen[4]

       1) zu vermehren:

        a) Addiren thut eine Größe einmal hinzu: Zeichen +: die Summiren-

          den Zahlen müssen = seyn der Summe.

        b) Multiplic.iren thut [b] eine Größe etlichemal dazu: Zeichen × : Regel: wie

          sich die Einheit verhält zu einem Faktor (dem Multipli-

          candus:) so der (Multiplicator) andre Faktor zum Produkt.

       2) zu vermindern:

        α) Subtrahiren: nimt eine Größe einmal weg: Zeichen –

          Regel: der Subtrahens + der Differenz = dem Subtra‹hendus›

        β) Dividiren: nimt eine Größe etlichemal weg: Zeichen (: a/b)

          Regel: wie die 1. zum Quotient so der Diuisor zum

            Dividendus.

  B) mit Brüchen:[5] diese sind Theile vom Ganzen, haben @das@ Zeichen a/b und die Regel: wie die gebrochne Zahl zur

    Einheit: so der Zähler zum Nenner, @und ist@ also eine Art von Division: Sie sind entweder

   1) gemeine: vulgares: die Regeln[c] sind:[6]

    1) Dividirt Nenner ˚.und Zähler durch eine ganze Zahl: = derselbe Bruch. Dieß ist Abbreviren

    2) Nenner ˚.und Zähler × durch ein[d] Ganzes gibt dasselbe Produkt. Dies ist der Grund von[e] der

     Reduktion unter = Benennungen: ˚.und nachher beim Addiren ˚.und Subtrahiren

    3) × den Zähler mit einer Zahl: so ist ﹥ ˚.und das[a] ist Multiplicir.en mit einer @Zahl@[b]

    4) × ⁅den⁆ Nenner ⁅mit einer Zahl: so ist⁆ ﹤ ⁅˚.und das ist⁆ Dividir.en ⁅mit einer Zahl⁆

    5) : ⁅den⁆ Zähler ⁅mit einer Zahl: so ist⁆ ﹤ ⁅˚.und das ist Dividiren mit einer Zahl⁆

    6) : ⁅den⁆ Nenner ⁅mit einer Zahl: so ist⁆ ﹥ ⁅˚.und das ist⁆ Multiplic.iren ⁅mit einer Zahl⁆

     Hierauf gründet sich das Multipl.iciren ˚.und Dividiren in Brüchen.

  Die gemeinen Brüche sind 1) eigentliche propriae, die auch zuweilen mixtae vermischte sind

             2) uneigentl.iche, die zu mixtis reducirt ˚werden.

   2) zehntheilige Brüche (decimales), deren Nenner Potenzen von 10 sind z.E. 7/10 etc. etc. 4/100 der Werth für

    1) Zeichen: z.E. 43° 6^I 7^II 8^III 9^IV 0^V 7^VI oder 43678907^VI Ganze° (Ruthen) Fuß^I (10.theil) Zoll^II (100.theil)

       Linien^III (1000.theil) 1ste Skrupel^IV etc.

    2) Regel: Im Bruch werden sie Zähler, ˚.und eine Einheit mit so viel Nullen, als ihr höchstes Zeichen ist, Nenner

    3) Rechnungsarten: Grund: Ihr Werth fängt von der linken [an], ˚.und sinkt 10fach. Daher kan man Nullen dazu

         sezzen.

     a) Addiren } man richte gleiches zu gleichem ein, und rechne wie gewöhnlich

     b) Subtrah:iren }

     c) Multipl.iciren: wie gewöhnlich: man addire drauf die Zeichen [c] der Faktoren vor das Produkt.

     d) Dividir.en: ⁅wie gewöhnlich:⁆ man subtrah:ire ⁅drauf die Zeichen⁆ des Divisors ˚.vom Dividend.en ⁅vor⁆ den Quot:ienten

C) mit[d] Quadrat- ˚.und Cubickzahlen[1]

  b) [e] Benennung

   Quadrat || vom [f]Geometr.ischen } wegen der Ähnlichkeit mit denen aus der Geometrie: daher

Fig. 2

Fig. 1

   Wurfel:               } sind Zeichen [Fig. 1] r ˚.und [Fig. 2]. Cr. ˚.und C.

  a) Erklärung etc.: Quadrat ist ˚das Produkt einer Zahl in[g] sich selbst

          a Wurzel eine Zahl mit ihr selbst multiplicirt

     ˚die Würfelzahl ⁅eine Zahl mit ihr selbst⁆ in ihrem Quadr.at ⁅multiplicirt⁆

          b Wurzel ⁅eine Zahl mit ihrem⁆ Quadr.at multiplicirt

  c) Regeln:[2] 1) ˚.zur Quadrat. Wurzel: dupl.icire, sez herunter, ˚.und:

     2) ⁅zur⁆ Cubick ⁅Wurzel⁆: 4drir, 3pl.ire ⁅herunter⁆:

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[a] Verhältnisse.[1] [b]

  1) Erklärung: ˚der Unterschied 2.er Größen ˚durch ˚eine 3te:

  2) Zeichen: ˚die beiden Glieder ˚der Vergleichung heissen: membra: eins antecedens ‹willkührlich›, ˚das andre Conseq.uens, ˚die ˚durch : verbunden ˚werden.

      ˚die Grösse des Unterschiedes, ˚der Exponent.

  3) Einteil.ung:[2] 1) arithmetische, wenn ˚der Exponent ˚durch Subtrakt.ion gefunden wird

         Regel: consequens, hat[c] so viel Einheiten, mehr, als antec:edens, als im Expon:enten sind, ˚.und ʾ vice versa

      2) geometr.ische, ˚wenn ˚der Expon:ent ˚durch Divis.ion gefunden wird

         Regel: antecedens steckt so viel mal ganz im conseq.uens ⁅als im Exponenten sind,⁆ ˚.und ʾ vice versa

B) zusammenges.ezte Verhältn.isse

  1) Proport.ion[3]

   a) Erkl.ärung: [d]‹2 ˚.mit dem Zeichen ˚der Gleichheit zus.ammengesezte Verhältniße: [e] a:b = c:d, folgl.ich ˚.auch:› wie b:a = d:c imgleichen c:d = a:b.

   b) Einteil.ung 1) in Absicht auf ˚die Schreibart: ist [f] willkührl.ich

       a) continua:[4] ˚die 3 Glieder ˚.hat

       b) discreta: ˚die 4 ⁅Glieder ˚.hat⁆

     2) in Abs.icht ˚.auf den Exponent.en ist wesentl.ich

       a) arithmetisch: ist keine wahre Verhältniß

         Regeln: ˚.wie˚viel Einh.eiten a grösser ist, als b :: so viel c : grösser als d

       b) geometr.isch: ist ˚das[g] einzige wahre Verhältn.iß

         ⁅Regeln:⁆ ˚.wie˚viel mal a ⁅grösser ist als b :: so viel c : grösser als d⁆.

  2) Progression,[5] sind einige (wenigstens 3) in proport.ione continua zus.ammenges.ezte Verhältnisse: ˚.und ˚wird eben so in Arithm.etische ˚.und geometr.ische ˚.eingetheilt

ב) Schlüße:

  1) ˚Wenn 2 Grössen, (Zahlen, Verhältn.iße[h]) einer 3ten gleich sind: sind s.ie ˚.einander selbst gleich.[6]

   Folgl.ich sind ˚die Produkte ˚der beiden ‹äußersten›[i] Glieder = ˚den Prod.ukten ˚der beiden mittelst.en

     1) in proport.ione discreta

     2) ⁅in proport.ione⁆ continua ⁅sind ˚die Produkte ˚der beiden äußersten Glieder =⁆ dem Quadr.at ˚der mittelsten.

  2) ˚Wenn 2. Grössen ‹Verhaltnisse› ([j] Verhältniße ˚.und Prop.ortionen) ‹gl.eich› vermehrt ˚oder vermindert ˚werden, so verhalten ˚sich ˚die Produkte, ˚.wie ˚.die Zahl.en selbst.

   Folgl.ich bei dem Verhältniß a:b = c:d   ˚.wie a:c = b:d.

       ⁅bei dem Verhältniß a:b = c:d⁆   ˚.wie a-b:b = (c-d):d

       ⁅bei dem Verhältniß a:b = c:d⁆   ˚.wie a+b:b = c+d:d.

ד) Anwendung auf die

  1) Multiplik.ation   ˚.wie   1:E = 2f:F.

  2) Divis.ion   ˚.wie   1:g = d:D.

  3) Brüche   ˚.wie   E: 1/f = n:d.

  4) Quadrat:e etc.   ˚.wie   R:Q = Q:C.

  5) Regel detrie[7]   ˚.wie   ˚die 1ste gegebne ˚.zum 2. = 3: zur unbekanten.

Vorläufige Anmerkungen der Geometr.ie

1) Erklärung. [a] Geometr.ie (α γ μ ˚.und μετρεω) die [b]meßkunst, ist eine Wißenschaft den Raum auszu~

     messen:[1]

2) ‹Historie da sie›[c] als Kunst erstlich

       zweitens als Wißensch.aft betrachtet werden kann:

         1) Ursprung: bei den Egyptern,

         2) Wachstum⁅: bei den⁆ 1) Griechen, die sie zur Quelle ˚der Weisheit machten

            2) Römern, die sie insonderheit als Kunst im Kriege

              fortbrachten

            3) den neuern, z.E. Franz.osen, Engell.ändern ˚.und Deutschen

3) Nutzen: 1) überhaupt als Wißenschaft: ˚durch ˚ein Gewißheit ˚.und Ordnung ‹ist s.ie› eine Logik

     2) besonders: a) in ˚der Mathem:atik ist sie ˚der Geist ˚der Arithmet.ik ˚der Grund ˚der ganzen Mathes.is applicata

          b) außerhalb ⁅der Mathematik⁆ ist s.ie ˚.ein Hülfsmittel zu andern Künsten, z.E. Musik, Zeichen Kunst

4) Plan:[2] s.ie misst den Raum aus: dieser ist

  1) Längen R.aum hat zu[d] s.einem Ende einen unteilbaren Punkt ˚.und nur eine Abmessung ˚der Länge

  2) Flächen R.aum ⁅hat zu s.einem Ende eine⁆ Linie ⁅und⁆ 2 ⁅Abmessungen⁆ ˚der Länge ˚und Breite

  3) Körperlicher R.aum ⁅hat zu s.einem Ende eine⁆ Fläche ⁅und⁆ 3 ⁅Abmessungen ˚der Länge ˚und Breite⁆ Dicke

Sie ist also

1) Longimetrie, ˚die da Linien ˚ausmisst: diese sind

  1) gerade: die [e] uns als ˚.ein Grundmaas gegeben seyn müssen: ist entweder

   1) Perpendikular ˚.und Vertikal _|_ |

   2) Horizontal __

   3) Schief, die weder Horiz.ontal noch Vertik.al

  2) krumme: deren kein Theil gerade ist

  3) vermischte:

2) Planimetrie, die Flächen ausmißt ˚.und ˚zwar

Fig. 1

 1) unbestimmte,[f] z.E. Winkel: ‹die Neigung 2. Lin.ien ‹(crurum)› zu ˚einem Punkt (vertex). [Fig. 1]› diese werden eingetheilt

      1) in Absicht auf die Linien

        1) in geradlinigte

        2) ⁅in⁆ krumm⁅linigte⁆

Fig. 2

        3) ⁅in⁆ vermischt⁅linigte⁆

      2) ⁅in Absicht auf die⁆ Neigung in

        1) gerade, ˚eine Neigung ˚der Perpend.ikularen zur Horiz.ontalen Lin.ie z.E. [Fig. 2]

        2) schiefe 1) spitz 2) stumpf

2) bestimmte Fläche: ˚durch Linien auf all.en Seiten bestimmt

  1) ˚durch gerade Linien: ˚.und ˚.zwar

   1) ˚durch 3: dahin gehören Triangel: diese sind mancherl.ei, da [Fig. 1] da ab die Basis, bc, ˚.und ca die Schenkel und c ˚die Spitze

Fig. 2

Fig. 1

    1) in Absicht auf ihre Seiten

     1) gleichseitige, da [Fig. 2] da ab = bc = ac

     2) ungleichs:eitige

      1) gleichschenkeligte [Fig. 3] da ab = bc ˚.und ¿ als bc.

Fig. 4

Fig. 3

      2) völlig ungleichseitige, scalen.

    2) in Absicht auf die Winkel

     1) rechtwinkeligt: [Fig. 4] da ab ˚der Cathete: bc basis ˚und ac Hypothenuse heißt[a]

     2) schiefwink.eligte

      1) spitzw:inkeligte da alle 3 spitze ˜Winkel ˚sind

      2) schiefw.inkeligte da ˚.ein schiefer ist

   2) ˚durch 4: dahin ˚die 4ecke diese sind

    1) in Absicht auf ˚die Seiten

[b]

     1) Parallelogr.amme

     2) Trapez.e

[The following two lines were added later, written to the right of the above three lines]

/ ‹Alle Parallelogr.amme ˚werden ˚durch ˚die diagon.ale Lin.ie in 2 Th.eile

/ 2. Parall.elogramme ˚von ˚einer Basis ˚.und Höhe ˚sind ˜gleich.›

    2) ⁅in Absicht auf ˚die⁆ Winkel

     a) mit ‹rechten›[c] Winkeln

      1) Quadrat, Rektangel

     b) 2) ⁅mit⁆ schiefen: Rhomb.us Rhomb.us

[The next fives lines were added later, written to the right of the above four lines.]

/    ‹Cirkel

/ gleiche Sehnen geben gl.eiche / Bogen ˚.und ʾvice versa

/ ˚Eine Perpendik.ular ˚.aus ˚den Center theilt Sehne ˚.und Bogen gl.eich ʾvice versa

/ Winkel an ˚der Periph.erie ˚.hat ˚das halbe Maas des Bogens etc.

/ Triangel, deßen Basis ˚die Per.ipherie des[d] Cirkels, @Cathet.e@ ˚der Radius ist ˜gleich Cirk.el›

   3) ˚durch mehr:ere Polygone, z.E. fünf etc. diese ˚sind

    1) regelmäss.ig ˚wenn alle Seiten ˚.und Winkel ˜gleich ˚sind

    2) un⁅regelmässig⁆

[The following five lines were added later and are written to the right of the above text:]

/    ‹Polyg.on

/ Jedes regul.äre Polyg.on ist ˜gleich Triangel, deßen Bas.is ˚die Seite des Polygons

/     Cathet.e ˚die Perpend.ikular, ˚.aus dem Mittelp.unkt zu

/     ˚einer Chorde gezogen

/ ˚Die Seite des Hexagons ist ˜gleich dem Semidiameter›

  2) ˚durch krumme Linien, z.E.

   1) Cirkel, dessen Mittelpunkt, Durchmesser, Radien, Sektor, Tangente, ˚.und Saite zu merken ist

   2) Ovalfigur ˚.und Ellipse

   3) [e] Cylinder etc. etc.

   4) [Text breaks off.]

[The following six lines were written in the same hand and ink as the insertions written to the right of the text above.]

/ Triangel sind gleich: ˚wenn 2. Seiten etc.

/ Im gleichschenkel.igen Triangel ˚sind ˚die Winkel ad basin [gleich]

/ Alle 3 Winkel gl.eich 180 Grad.

/ 2. Triangel ˚.von ˚einer Basis ˚.und Höhe [sind] ˜gleich

/ Triangel ˚die Hälfte ˚.vom Parall.elogramm

/ Bei ˚einem Rechtwink.eligen [Triangel] ist ˚das Quadr.at ˚der Hypoth.enuse

@1.@ Proportion der Größen: a) [a] Rat.ional inter duas    quant.itas commensurabilis

           b) Irrat.ional — hier Rational

α) bei Triang.el a) ˚wenn im Triangel: recta    parall.ele   Basis: alsdenn Proportion

       b) gleichwinkel.ige Tr.iangel ˚sind ähnl:ich, Seiten @proportional@

       c) proport.ionale Seiten geben gl.eiche Winkel   = also ähnlich

  hier˚.aus finden a) ˚die 3te

         b) ˚die 4te

         c) ˚die mitl.ere Prop.ortion

β) bei Parall.elogramme – Par.allelogramme ˚.von gl.eicher Höhe ˚sind ˚.wie    ˚.die Bases

           2 Rect.angel ˚sind in rat.ione compos.ita    Bas.is et altit.udo

II) Hier˚aus Problem.atik a) für ˚die Euthymetrie[1]

           b) ⁅für ˚die⁆ [b] (Ichnographie[2] anmerken)

           c) ⁅für ˚die⁆ Altimetrie[3]

           d) Epipedometrie[4] (Oberfläche

           e) Geodesie[5] (plan.ities in Theile Theil.en

III. Stereometrie[6]

   α) Begriffe: [c] Cubus : Maas

         Parallelepipedum[d]

         Prism.en, Pyramide, Cylinder, Kegel

   β) [e] Verhältn.isse ˚.und Lehrs.ätze

   γ) Ausmeß.ung: 1) Oberfl.äche

         2) des körperl.ichen Inh.alts

[The bottom fourth of the page is blank.]